談一道金關漢簡所載的數學“衰分”題

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原文标题：談一道金關漢簡所載的數學“衰分”題

（吉林師範大學）

《肩水金關漢簡（叄）》編號73EJT31：140簡文如下：[1]
朱濡行三日行三里不日行一里日倍昨今問初日行幾何曰初日行七分里三明□
高一致先生曾將其句讀爲：
朱濡行，三日行三里，不日行一里，日倍昨，今問：初日行幾何？曰：初日行七分里三，明□
對此，高先生解釋說：
本簡應爲一枚計算行程的算術簡。……簡文大意指“朱濡行三日總里程三里，按每日爲前日兩倍的速度行進，問第一天行進的里程？答：第一天行進了七分之三里，第二天……”。據此，我們假設本簡初日行進里數爲未知量χ，列出方程式作χ+2χ+4χ=3，可知χ=3/7，無疑簡文中計算是正確的。又，簡文“朱濡”疑爲人名，但考虑到本简算題類似今日之應用題似乎也要一定程度符合實際，而“三日行三里”“初日行七分里三”對於常人而言實在太慢。這裏“朱濡”，或亦可指“侏儒”。[2]
我們同意以上高先生對於簡文的句讀及文意分析。其實需要補充説明的是，以上金關漢簡所載的內容不僅僅是一道簡單的計算行程的算術題，更準確地説它是古代一道典型的數學“衰分”題。“衰分”就是按比例分配的意思。《管子·小匡》曰：“相地而衰其政，則民不移矣。”尹知章注：“衰，差也。”李籍引尹知章注後曰：“以差而平分，故曰衰分。”“衰分”是古代“九數”之三，鄭玄引鄭眾“九數”作“差分”，是爲衰分在先秦的名稱。[3]簡文是以“侏儒”行路爲例來說明“衰分”之術的，此“朱濡”即“侏儒”，亦作“朱儒”，它本指身材特別矮小之人。如《左傳·襄公四年》：“臧紇救鄫，敗於狐駘，……國人誦之曰：‘……我君小子，朱儒是使，朱儒朱儒，使我敗於邾。’”注：“臧紇短小，故曰朱儒。”此外，“侏儒”亦可引申指雜技藝人或者未成年的人。如《荀子·王霸》：“俳優侏儒婦女之請謁以悖之。”注：“侏儒

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，短人可戲弄者。”揚雄《太玄》：“次七脩侏侏，比於侏儒。”范望注：“侏儒，未成人也。”我們猜想，簡文中“侏儒”指身材矮小之人的可能性较大，它不大可能是人名。因“侏儒”身材矮小，走路緩慢，以此爲對象設立數學問題，十分形象。簡文說侏儒三天走了三里路，並且三天平均每天不是都走一里路，而是第二天走路的里程是前一天的两倍，所以按照這樣1:2:4的比例換算出來就是：
第一天（初日）走了三里路的七分之一；第二天（明日）走了三里路的七分之二；
第三天走了三里路的七分之四。（或者说第一天走了七分之三里；第二天走了七分之六里；第三天走了七分之十二里。）
其實，這種演算法和上引高一致先生運用方程運算得出的結果是一樣的。虽然簡文後部分内容残缺，但是通過以上的分析還是能夠大致補足整支簡文的文意。
以上金關漢簡簡文給我們展示的即是古代的“衰分”法的一種，這種例子在《九章算術》卷三中有很多。此外，《嶽麓書院藏秦簡（貳）》也收錄了“衰分之術”；張家山漢簡《算數書》也見“衰分”一詞。爲了說明

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個和上列金關漢簡簡文計算原理相同的“衰分”題例子：
嶽麓秦簡（貳）《數》131/0972簡正曰：
五。其述{術}曰：始日直{置}一，次直{置}二，次直{置}四，耤而并之七=，[七]爲法，以十尺扁{遍}乘其直{置}各自為貫（實）=，[貫（實）]如法得一尺。[4]
《九章算術》卷第三載：
今有女子善織，日自倍。五日織五尺，問：日織幾何？
答曰：初日織一寸三十一分寸之十九，
次日織三寸三十一分寸之七，
次日織六寸三十一分寸之十四，
次日織一尺二寸三十一分寸之二十八，

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次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。
術曰：置一、二、四、八、十六爲列衰；副并爲法，以五尺乘未并者，各自爲實，實如法得一尺。[5]
張家山漢簡《筭（算）數書》四〇至四二簡有如下內容：
女織鄰里有女惡自喜也，織曰：自再五日織五尺。問始織日及其次各幾何？曰：始織一寸六十二分寸卅八，次三寸六十二分寸十四，次六寸六十二分寸廿八，次尺二寸六十二分寸五十六，次二尺五寸六十二分寸五十。术（術）曰：直（置）二、直（置）四、直（置）八、直（置）十六、直（置）卅二，并以爲法，以五尺偏（徧）乘之各自爲實。實如法得尺。不盈尺者十之，如法一寸。不盈寸者，以法命分。王已讎。
張家山漢簡注釋者云：“本題設作‘置一、置二、置四、置八、置十六’計算較《九章算術》更簡便。”[6]
由以上可見，上舉三例織布的計算法正好詮釋了金關漢簡簡文的演算原理及方法。蕭燦先生對上引嶽麓秦簡《數》0972簡的演算方法已有研究，同時蕭先生引鄒大海先生的意見認爲，嶽麓秦簡《數》0972簡的表述更接近於《算數書》。[7]虽然張家山漢簡的例子及内容和《九章算術》的表述稍有異處，但運算原理及結果相同（張家山漢簡所得結果的分子分母沒有約分）。因此我們説上列金關漢簡的例子應該歸納到古代數學的“衰分”運算術中去。需要說明一點的是，我們注意到金關漢簡（叄）73EJT26:5A簡文載有乘法口訣，即我們俗説的小九九乘法表，這些零星的數學信息可以清楚地告訴我們：在當時漢代邊關的日程管理及生活當中，數學問題乃至數學運算原理應是廣受關注的。
附記：小文寫作中曾向肖從禮先生、蕭燦先生、何有祖先生請教，在此表示感謝！
(編者按：本文收稿時間爲2016年2月2日08：32。)[1]甘肅簡牘博物館等編：《肩水金關漢簡（叄）》（中冊），中西書局，2013年，第227頁。
[2]高一致：《讀<肩水金關漢簡（叁）>筆記（二）》，簡帛網：http://www.bsm.org.cn/show_article.php?id=2060，2014年8月23日。
[3]郭書春譯注：《九章算術譯注》，上海古籍出版社，2009年，第97頁注解[1]。
[4]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，上海辭書出版社，2011年，第101頁。
[5]郭書春譯注：《九章算術譯注》，上海古籍出版社，2009年，第100頁。
[6]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組：《張家山漢墓竹簡》[二四七號墓]（釋文修訂本），文物出版社，2006年，第137頁。
[7]萧灿：《岳麓书院藏秦简<數>研究》，中國社會科學出版社，2015年，第86頁。 (责任编辑：admin)

原文出处：http://his.newdu.com/a/201711/05/512921.html

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