王元鈞：《張家山漢簡 算數書》“大廣”脫字補

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《張家山漢簡 算數書》“大廣”脫字補
王元钧
本文摘要：本文利用《九章算術》求田畝解法和初級代數的方法，結合一次同餘式的解法，對張家山二四七號漢墓竹簡《算數書》“大廣”一篇的脫文進行了勘補，並對該簡文已釋文字中的訛錯點進行了勘誤。
關鍵字：張家山漢墓竹簡 算數書 脫字 一次同餘式
張家山二四七號漢墓竹簡《算數書》“大廣”原文兩簡，第一簡前幾字模糊不清。經整理小組辨識，整理出的內容兩簡全文如下：
大廣 廣七步九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□為□六十四步有（又）三百三分步之二百七十三。大廣術（術）曰：直（置）廣從（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也為實，有（又）各令分母相乘為法，如法得一步，不盈步以法命之。
該段文字的內容和術文翻譯成現代漢語（為描述和計算方便，文中數字用阿拉伯數字代替），意思大致是：
廣7又49分之□步，求縱□又□分之□步的情況下其田畝面積。答案是 64又343分之273（平方）步。計算法（大廣術）：將廣和縱帶分數的分母分別乘以各自的整數部分（全步），再加上帶分數各自的分子部分。將廣和縱如此計算後的所得再相乘，作為被除數（原文需補上逗號為：令相乘也，為實），再將各自的分母相乘，作為除數（又各令分母相乘，為法）。整理乘得的被除數（實）和除數（法），用除數去除被除數，被除數每滿除數就進一（如法得一步），直到被除數只剩下不足除數的部分（不盈），以除數作為分母，被除數不足除數的部分作為分子（命之）。
術文計算過程其實就是將廣和縱兩個“帶分數”值（由一個整數和一個真分數組成，數值大於1的最簡分數）演變成“假分數”值（分子大於或等於分母，數值大於或等於1的分數），再將兩個假分數的分子和分母分別相乘，其中分子相乘所得作為被除數，分母相乘所得作為除數。用除數去除被除數，被除數被分成兩個數，一個是除數的整數倍數，一個是分子小於除數、分母為除數的真分數。
正如唐李淳風注所說：“大廣田者，初術直有全步無餘步，次術空有餘分而無全步，此術先見全步複有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。”整理小組只引用了這段注（見《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》（2001年文物出版社，p98），可惜並沒有根據這個思路去推究出該簡文所脫部分究竟是什麼文字和數位元。到該書修訂本2006年出版時該處脫文依舊。
現借助代數法推求該段文字所脫部分。
設“廣7步49分步之□□□”所脫部分為A，按照文意計算，“廣”演變成假分數後的分子為(7×49+A)，分母依然是49。
又設所脫“縱”的整數部分（全步）為B，真分數部分的分母為D，分子為C。顯然，這些代數均為正整數。
根據文意，可知：
（7+A/49）×（B+C/D）=64+273/343 （式1）
術文意即：

這裏，（7×49+A）×（B×D+ C）即為“實”，而49×D為“法”。根據術文，廣之分母49乘以縱之分母，得“法”為343。
即49×D ＝343，得：D＝7。
由於A在廣的帶分數運算式中是分母49的分子，C在縱的帶分數運算式中是D的分子，根據真分數的分子小於分母的特性，則A和C的定義域分別為：
A： 1≤A≤48的整數； C： 1≤C≤6的整數。
將D＝7代入式1：（7+ A/49）×（B+ C/7）＝64+273/343 （式2）
整理得：（7+ A/49）×B +（1+A/343）×C ＝64+273/343
則：B ＝（64×49+39）/（A+343）-C/7
B ＝ 3175/（A+343）-C/7 （式3）
A ＝ 3175/（B+C/7）-343 （式4）
C ＝ 22225/（A+343）-7

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B （式5）
由式3可知，B與A和C成負相關。當A和C取最大值時，則B為最小值；A和C取最小值時，則B為最大值。
當A＝48，C＝6時，B＝3175/391-6/7≈7.26。
當A＝1，C＝1時，B＝3175/344-1/7≈9.09。
即7.26≤B≤9.09。因為B是整數，所以，B＝8，或B＝9。
即該簡原文第一句似乎應為：
“廣七步九分步之□□□縱八（或九）步七分步之□，為田六十四步有（又）三百三分步之二百七十三。”
至此問題似乎已經變得很簡單，因為只要分別將 8或9分別代入以上式中，即可輕鬆推導出A和C這兩個整數來。
將B＝8代入式4，則：A＝3175 /（8+ C/7）- 343 （式6）
因為1≤C≤6，分別取C＝1、C＝2……C＝6值，代入式6，得：

C值

C=1

C=2

C=3

C=4

C=5

C=6

A值

46.91

40.19

33.69

27.41

21.34

15.47

均不符合A為整數的要求。故B=8不可取。
同樣，將B=9代入式4，則：A ＝3175/（9+C/7）-343 （式7）
因為1≤C≤6，分別取C＝1、C＝2……C＝6值，代入式7，得：
當C＝1時，A＝4.27；C取2至6值時，A均小於0，A同樣無正整數解。故B＝9亦不可取。
可見，據該文所提供資料進行推導，在數理上無解。 說明整理小組所給圖版釋文中的幾個數字肯定有訛錯。哪個數有問題呢？
查看《張家山漢墓竹簡》（文物出版社，2001年，P98）該段圖版得知，“大廣”該段的“有（又）三百三分步之二百七十三”是清晰無疑的，但“六十四步”的“ 四”並不清晰，上述推倒悖論應是該數字出了問題。現設該數字為E，因為它是“六十□步”的個位數，顯然，E的定義域為：
E： 1≤E≤9的整數。
則式2～式5分別應為：
（7+ A/49）×（B+ C/7）＝60+ E +273/343（式8）
經整理得：
（343+ A）×（7B+ C）＝343×（60+E）+273
此式相當於一個一次同餘式：
（343+ A）×（7B+ C）≡273（mod 343）
目前僅知A和C的定義域（前文所述），B定義域不明，需推求。
根據式8，有：B ＝[（60+ E）×49+39]/（A+343）- C/7
B ＝（2979+49E）/（A+ 343）- C/7 （式9）
A ＝（2979+49E）/（B+ C/7）- 343（式10）
C ＝（2979+49E）×7/（A+343）-7B（式11）
根據上述四式，分別推求A、B、C的取值範圍：
首先看B：
由式9可知，B與A、C和E的數值關係為：
當A和C取最大值，且E取最小值時，B為最小值；
當A和C取最小值，且E取最大值時，則B為最大值。
即當A＝48，C＝6，E＝1時，B是最小值，根據式9，有：
B＝（2979+49×1）/（48+343）-6/7≈6.89
當A＝1，C＝1，E＝9時，B是最大值，根據式9，有：
B＝（2979+49×9）/（1+343）-1/7≈9.80
因此，B的定義域應為“大於6.89，且小於9.8的正整數”，即：
B值只有7，8或9這三種可能。
再看A：
整理

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式10， A＝（2979+49E）/（B+C/7）-343
＝7×（2979+49E）/（7B+C）-7×7×7
＝7×[（2979+49E）/（7B+C）-7×7]
注意上式中的7B+C，是7的倍數加上C，因為C小於或等於6的整數，不可能是7的倍數，所以7B+C不可能被7整除，因此A必然是7的整數倍，又因A定義域是1≤A≤48的整數，則：
A有7，14，21，28，35和42這六種取值可能。
再令A＝7a,顯然a定義域是1≤a≤6的整數。則式8變更為：
（7+ 7a/49）×（B+ C/7）＝60+ E +273/343 （式12）
再看C：
將A=7a代入式11，有：
C＝（2979+49E）×7/（7a+343）-7B
＝（2979+49E）/（a+49）-7B（式13）
因C定義域為1≤C≤6的整數，則上式：
1≤（2979+49E）/（a+49）-7B≤6（式14）
再根據上述各數值定義域和數值之間的相關關係推求：
利用B定義域為7≤B≤9的整數的快捷方式：
1、當B=7時，整理式14有：50×（a+49）≤2979+49E≤55×（a+49）
因a定義域為1≤a≤6的整數,則
2500≤2979+49E≤3025，E≤0.94，故B＝7導致無意義，非正解。
2、當B=9時，根據式12有： （7+7a/49）×（9+C/7）＝60+E+273/343
即

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： 63+C+7a×（63+C）/343 ＝60+E+273/343
或： 7a×（63+C）＝343×（E-C-3）+273
這同樣類似一個一次同餘式：
7a×（63+C）≡273（mod 343）
在a和 C定義域為1≤且≤6的整數時，該式無正整數解。
3、當B=8時，根據式12有： （7+7a/49）×（8+C/7）＝60+E+273/343
或： 7a×（56+C）＝343×（E-C+4）+273
即一次同餘式：
7a×（56+C）≡273（mod 343）
該同餘式有一組解：a＝3，C＝6；則A＝7a＝21.
代入式12，有（7+3/7）×（8+ 6/7）＝60+ E +273/343，得：
E＝5
因此，上述所設五數分別為：A＝21，B＝8，C＝6，

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D＝7，E＝5.
從小廣和大廣的文意可知,該部分算數是已知田塊的長和寬求面積,或已知面積、長或寬其中兩項,求其第三項。本段“大廣”是當長和寬都是帶分數的情況下求其田畝面積。經過推理計算，可得知，該文所舉例的長（廣）為7又49分之21步，寬（縱）為8又7分之6步，面積為65又343分之273步。
結論：根據上下文意和推導，該段文字應為：
大廣 廣七步九分步之廿一，求縱八步七分步之六其田。為畝六十五步有（又）三百三分步之二百七十三。大廣術（術）曰：直（置）廣縱（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也，為實，有（又）各令分母相乘，為法，如法得一步，不盈步以法命之。
參考文獻：
《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》 （張家山二四七號漢墓竹簡整理小組，文物出版社，第一版，2001年，p98）
《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》釋文修訂本 （張家山二四七號漢墓竹簡整理小組，文物出版社，第一版，2006年，p156）
《演算法的源流（東方古典數學的特徵）》 （李繼閔著，科學出版社，第一版，2006年）
《九章算術·方田》（國學網）
《孫子算經》（國學網）
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原文出处：http://his.newdu.com/a/201711/04/511333.html

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