中国历法-王元鈞：四分術之“連大”“無連小”與三統曆“日法”數源考

中国历法,小月
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2023-09-02 10:48
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原文标题：王元鈞：四分術之“連大”“無連小”與三統曆“日法”數源考

四分术之“连大”“无连小”与三统历“日法”数源考
（首发）
王元钧
文章简介：该文根据太初历之前的四分历朔望月数据29日又940分日之499、大月30日、小月29日和月朔小余月月承继的特点，对古四分历的“大月”、“小月”、“连大”、“无连小”、“无三连大”、“连大”月间距、连大朔小余的关联关系以及“连大”大周期等历法问题做了深入的数理分析，对修复先秦及汉初已出土历谱，具有基础性作用。该文通过连大月距的深入，找到了四分术其后世三统历的朔望月数据来源。
关键词：四分术 “三大二小” 连大连大月距三统历数源
我们知道，汉孝武帝施行太初历前，我国历法采用的是四分术，其朔望月为29日又940分日之499。本文通过数理推导，探求四分术的月序排列规律，得出四分术“无连小”，“无三连大”以及两次“连大”之间的月间距数规律，为修复“六古历”提供基础性的工作。
一、四分术“无连小”
二、四分术“大月”的基本特征
三、四分术“小月”的基本特征
四、四分术“两月连大”的基本特征
五、四分术“无三连大”
六、四分术“连大”大周期
七、四分术两次“连大”之间的月间距数是13月或15月
八、四分术“连大”的月间距规律
九、太初历（三统历）的日法根源于四分术“连大”的月间距规律

一、四分术“无连小”

四分术朔望月29+499/940日，每月月朔小余必然介于0~939之间。
假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939，a∈Z）。
如果第N月为小月，则：a/940+29+499/940﹤30，即a﹤441.
因为0≤a≤939，a∈Z，所以，0≤a≤440，a∈Z.
于是，第N月日数（a/940+29+499/940）的区间是：
0/940+29+499/940≤a/940+29+499/940≤440/940+29+499/940
即29+499/940≤第N月日数≤29+939/940
日数取整，第N月日数为29日，不足一日的分数值作为下月月朔小余，即第N+1月朔小余必介于499~939之间（闭区间）。
于是第N+1月的日数为：499/940+29+499/940≤第N+1月日数≤939/940+29+499/940
即30+58/940≤第N+1月日数≤30+498/940. 日数取整，因此第N+1月日数为30日。
也就是说，不论第N月月朔小余是多少，如果它是小月，那么第N+1月必然是大月。
因此，以29+499/940日为朔望月日数的四分历不可能有“两月连小”的现象。
我们称其为：四分历“无连小”定理。
那么什么情况下会出现连小呢？除非调小朔望月。我们知道，这里29+（499/940）数值中的940，按照后世三统历的规制，称“日法”，按照后汉四分历的叫法，称“部月”。那么我们如果保持日法不变，设940所命之分子为A。
即令朔望月数值为29日940分之A，令连小的第一个小月的月朔小余为X（这里0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z）。两月连小意味着：
29*2+0/940≤X/940+（29+A/940）*2≤29*2+939/940.即：0≤X+2A≤939
因为0≤X≤939，A，X∈Z，所以0≤A≤469
也就是说，当朔望月数值小于或等于29日又940分之469时，才会出现两月“连小”。

二、四分术“大月”的基本特征

假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939，a∈Z）。
如果第N月为大月，则：a/940+29+499/940≥30，即a≥441.
因为0≤a≤939，a∈Z，那么有：441≤a≤939，a∈Z.
反之，当441≤a≤939，a∈Z时，有30+498/940≥a/940+29+499/940≥30+0/940
即第N月该月必然是大月；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于0～498之间。
而当440≥a≥0，a∈Z时，有29+939/940≥a/940+29+499/940≥29+499/940
即第N月该月必然是小月；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于499～939之间。
即如果第N月是大月，其月朔小余a必然介于441～939之间（闭区间），且该大月之后下一月第N+1月的月朔小余必然介于0~498之间（闭区间）；
如果第N月月朔小余a介于441～939之间（闭区间），则第N月必然是大月。
如果第N月月朔小余a介于0～440之间（闭区间），则第N月必然不是大月，而是小月。
我们称之为：四分历“大月”定理。

三、四分术“小月”的基本特征

假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939,a∈Z）
前面论证四分历“无连小”定理过程中，得知：
（1）如果第N月为小月，则 0≤a≤440，a∈Z.
由“大月”定理，得知：
（2）如果第N月月朔小余的值域为：0≤a≤440，a∈Z
则第N月必然是小月。
（3）如果第N月月朔小余的值域为：441≤a≤939，a∈Z
则第N月必然是大月。
从论证“无连小”定理过程中得知，如果第N月为小月，第 N+1月朔小余必然介于499~939之间（闭区间）；从而根据“大月”定理得知，第N+1月必为大月。
那么相反呢？如果第N+1月朔小余b介于499~939之间（闭区间），第N月日数情况会怎样呢？假如第N月是大月，则其月朔小余必然介于441≤a≤939,且有a/499+29+499/940-30= b/499
则b=a-441，根据441≤a≤939，有0≤b≤498，这不符合b介于499~939之间（闭区间）值域。
也就是说第N+1月朔小余b介于499~939之间时，第N月不可能是大月，而是小月。
据此，我们得知：
当某（第N月）为小月时，则其月朔小余a必然介于0≤a≤440，a∈Z，且其次月（第N+1月）朔小余必然介于499～939之间（闭区间），并且该次月（第N+1月）必为大月；
当某月（第N月）月朔小余a介于0≤a≤440，a∈Z时，则该月必然是小月，否则是大月；
当某月（第N+1月）朔小余介于499～939之间（闭区间）时，则前一月（第N月）必然是小月；
当某月（第N+1月）朔小余b介于0～498之间（闭区间）时，则前一月（第N月）必然不是小月，而是大月。
我们称之为：四分历“小月”定理。

四、四分术“两月连大”的基本特征

两月连大，即第N月和第N+1月都是大月。为行文方便，先定义几个概念：称“两月连大”的第一个大月为“前大”，第二个大月为“后大”。
令前大（第N月）的月朔小余是a，后大（第N+1月）月朔小余是b。
那么根据古历“大月”小余定理，有：441≤a≤939，a∈Z；441≤b≤939，b∈Z
两月连大，意味着第N月和第N+1月的日数都是30日，所以有以下两式：
（1）a/940+(29+499/940)-30= b/940；且有：a/940+(29+499/940)*2≥30*2，即a≥882
（2）a/940+（29+499/940）*2-60= c/940
根据上式有：b=a-441，即a=b+441 （关系通式1）
c=a-882，即a=c+882 （关系通式2）
根据“大月”定理，有441≤a≤939，a∈Z，所以有：882≤a≤939，a∈Z
又根据a=441+b；882≤a≤939，a∈Z；441≤b≤939，b∈Z，有441≤b≤498，b∈Z
即两月连大，则前大（第N月）月朔小余值域为 882≤a≤939，a∈Z；后大（第N+1月）月朔小余值域为441≤b≤498，b∈Z
反之，如果第N月月朔小余值域为：882≤a≤939，a∈Z，则：
第N月的日数a/940+29+499/940 为：
882/940+29+499/940≤a/940+29+499/940≤ 939/940+29+499/940
即30+441/940≤第N月的日数≤30+498/940
则第N月为大月，且第N+1月的月朔小余b介于441~498之间（闭区间），根据“大月”定理，第N+1月同样为大月。
如果第N月和第N+1月两月连大，则第N+2月）的月朔小余值域如

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何？
令第N+2月的月朔小余为c。
因为第N+1月是大月，根据“大月”定理，有：0≤c≤498，c∈Z.
且有：b/940+（29+499/940） -30= c/940
即：c=b-441，即b=441+c &nbs p; （关系通式3）
上述推理已得知：441≤b≤498，b∈Z；则441≤441+c≤498
即：0≤c≤57，c∈Z.
即第N月和第N+1月两月连大，则第N月朔小余值域为882≤ a≤939，a∈Z；第N+1月朔小余值域为441≤b≤498，b∈Z；第N+2月朔小余值域为0≤c≤57，c∈Z.
以上推理的反推同样成立，即当某月月朔小余0≤c≤57，c∈Z时，其前面两月必然是连大。
推理如下：
假设某月为第N+2月，其月朔小余为c，0≤c≤57，c∈Z，又令第N月和第N+1月月朔小余分别为a和b.
则根据四分历“小月”定理，第N+2月的月朔小余介于0～440时，该月为小月，
又根据四分历“无连小”定理，则第N+1月和第N+3月都是大月。
根据“大月”定理，第N+1月是大月，则其月朔小余b的值域为441≤b≤939，b∈Z.
又因为N+1月是大月，所以：b/940+（29+499/940）-30= c/940，所以c=b-441，即b=441+c
由0≤c≤57，得知：441≤b≤498，b∈Z
再根据“小月”定理：当某月朔小余b介于0~498之间（闭区间）时，则前一月则必然不是小月，而是大月。所以这里第N+1月的月朔小余441≤b≤498，b∈Z推得，第N月为大月。
也就是说：
当某月和次月（第N月和第N+1月）两月连大时，则该某月（第N月）朔小余值域为882～939之间（闭区间）的整数；且该次月（第N+1月）朔小余值域为441～498之间（闭区间）的整数；且再次月（第N+2月）朔小余值域为0～57之间（闭区间）的整数。
反之，当某月朔小余值域为0～57之间（闭区间）的整数时，则该月前两月必然连大；当某月朔小余值域为882～939之间（闭区间）的整数时，则该月和次月连大；当某月朔小余值域为441～498之间（闭区间）的整数时，则该月和前一月连大。
我们称之为：四分术“连大”定理。
我们把关系式1-3称为：四分术“连大”月朔小余关系通式。

五、四分术“无三月连大”

补充一个概念：我们称“两月连大”后大之后的第一个小月为“后小”。
设第N月和第N+1月都是大月，且第N月月朔小余是a，第N+1月月朔小余是b。
又设第N+2月月朔小余是c.
根据四分术“连大”定理，有：0≤c≤57，c∈Z
根据“小月”定理，得知在第N+2月的月朔0≤c≤57情况下，第N+2月必然为小月。
因此，四分术如果出现两月连大，那么在此之后必然跟的是小月。
我们称之为：四分术“无三月连大”定理。
那么什么情况下会出现“三连大”呢？除非调大朔望月。我们如果保持日法不变，设 940所命之分子为A。
即令朔望月数值为29日940分之A，令连大前大的月朔小余为X（这里 0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z）。三月连大意味着A，X需要同时满足三个条件：
30+0/940≤X/940+（29+A/940）≤30+939/940 ; （1）
30*2+0/940≤X/940+（29+A/940）*2≤30*2+939/940 （2）
30*3+0/940≤X/940+（29+A/940）*3≤30*3+939/940 （3）
条件一要求：940≤X+A≤939+940
条件二要求：940*2≤X+2A≤939+940*2
条件三要求：940*3≤X+3A≤939+940*3
940-X/3≤A；因为0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z
所以有：627≤A≤939
也就是说，朔望月介于29日又940分之627与939之间（闭区间）时，就会出现“三大”。
以上四分术“无三连大”和“无连小”的现象，大概古代治历者早有意会，并且几成常识，只是未见推理。后来汉孝武帝废黜四分术，改行太初历，日法81；后汉复行四分；再到魏晋南北朝众历百家争鸣，尤其是后世张子信发见日躔月离，历家始用内插法[1]，历谱历注逐渐考虑定气定朔，但是四分术的“无三连大”和“无连小”的表象特征依然深刻在不少主流治历者的常识里。每每他们遇到有新历法出现某年“三月连大”甚至“四月连大”此时，就会“无三月连大”和“无连小”的“常识”来反驳。
南北朝刘宋时期何承天《元嘉历》改平为定，有“三大，二小”的现象，成为当时反对者钱、严等人的把柄，“愚谓此一条，自宜仍旧”，使得何氏有理难辩。历家尚难辨，史家就更不知内情，只知与以往历谱很不相同，故云：“承天法，每月朔望及弦，皆定大小余，於推交会时刻虽审，皆用盈缩，则月有频三大，频二小，比旧法殊为异。”[2]用今天的话讲，就是何承天的历法好是好，日月食交会都能预测到，可是，老是冒出“三连大和二连小”的毛病，与老祖宗的历法比，太怪异。祖冲之《甲子元历》也有“三大二小”，同样因为权臣一知半解，而以之为籍口，不予推行云云。令人不禁想起墨守成规和刻舟求剑的笑话。
素不知，“无三月连大”和“无连小”其实是由四分术的朔望月数据决定的，岂可说四分术当年不存在的现象，后世就不能出现。相反，正是由于历法的发展，定气定朔，究研漏晷，推求交食，不断探求密近朔望和回归年，才有“三连大”或“连小”的现象。
当然，推陈出新的历法改革者本身是否会让那时的听众明白“三连大”和“连小”的内在原因，这也是值得打个小问号的。

六、四分术的“连大”大周期

所谓连大的大周期：即一次连大后，经过若干月，再次发生连大，且两者后小的月朔小余相等。
我们已知四分术的朔望月是29日又940分之499，先求任何月的月朔小余重复出现的周期。
令某月的月朔小余是A，经过M个月后，月朔小余再次为A；同时令期间有a 个小月。
显然，这三个数都必然是自然数，且A∈[0，939]，M＞0，0＜a＜M
要使得两次月朔小余相等，就等于求解下列等式：
A/940+(29+499/940)*M=29*a+30*(M-a)+A/940
等式两边都约去A/940，经整理，有：441/940*M=a，由于441和940互质，故M和a的最小整数解为940和441.
也就是说，不论A在其定义域[0，939]内任取其值，经过940个朔望月，月朔小余再次等于A.且此940个月周期内，共有441个小月， 499个大月。
这正是四分术朔望月的重要参数：29+（499/940）日的含义。
即：小月日数29日，月朔小余经过940个月重复还原；在此月朔小余大周期中，共有499个大月。
四分术实行19年7闰的闰制， 19年=19年*12月/年+7闰月=235月，所以，这个月朔小余周期又可以换算成整数年：940月=235月*4=19年*4=76年
也就是说，经过76年，月朔小余相等。
这个940个月的月朔小余周期，也正是我们所要求的连大大周期。
证明很简单：
既然940个月是月朔小余的周期，那么940个月内，不可能有相同的月朔小余；只有940的整数倍年后月朔小余才必然相等。
根据连大定理，当且仅当月朔小余介于[882，939]时，则该月和其后一月必然连大；而月朔小余又是以940个月为周期的，所以，连大的大周期（月朔小余相等的）必然是940个月。
四分术中每经过940个月发生一次月朔小余与上一次连大相等的连大现象。
我们称之为“连大大周期”定理。

七、四分术两次“连大”的月间距是13月或15月

为行文方便，补充定义几个概念：称两次“两月连大”的第一次连大为“前连”，第二次连大为“后连”；称“两次连大之间的月间距”为“连大月距”。
现有第N月和第N+1月发生连大，其后间隔Y月后再次(即第N+2+Y月和第N+3+Y月)发生连大，令第N月、第N+1月和第N+2月三个月的月朔小余分别是a、b和c；又令第N+2+Y月、第N+3+Y月和第N+4+Y月的月朔小余分别为x、y和z.
根据四分术“无连小”定理，两次连大月之间的月序必然是“小大小大……小”相间，即Y必然是奇数。根据连大定理，有：
882 ≤a≤939；441≤b≤498; 0≤c≤57, 且a,b,c ∈Z.
882 ≤x≤939；441≤y≤498; 0≤z≤57, 且x,y,z ∈Z.
根据连大规律即Y为奇数，那么应有：
c/940+(29+499/940)*Y=(29+30)*(Y- 1)/2+29+x/940
即c+29Y+470=x；Y=(x-c-470)/29;
又因x=z+882,故Y=(z-c+412)/29 ，z=c+29Y-412 ,c=z+412-29Y
因为0≤c≤57，882≤x≤939，所以：825≤x-c≤939
可得：355/29≤Y≤469/29
因为Y是自然数，所以13≤Y≤15；
又因为Y是奇数，则，Y只有 13或者15两种可能。
即Y=(z-c+412)/29等式，其Y的自然数解只有两个，13或15。
相应的，z=c+29Y-412等式在Y=13或15时，z和c有一一对应的一组解，两者互为函数。
考虑到c和z的定义域0≤c≤57，0≤z≤57；
又因为Y只有13或15两种可能，且对应的c和z的函数关系只有：
如果Y=13,则c=z+35；且有0≤z≤22；35≤c≤57
如果Y=15,则c=z-23；且有23≤z≤57；0≤c≤34
相反，当0≤z≤22时， 0≤c+29Y-412≤22，412-29Y≤c≤434-29Y
根据前面证明的Y只有13或者 15两种取值可能，得Y只有一解：Y=13；
将Y=13代入c+29Y-412=z 有c=z+35，所以再根据0≤z≤22，有35≤c≤57
（或者另证：当0≤z≤22时，c=z-23等式无解，所以，c和z的函数关系只能是c=z+35.从而代入c+29Y-412=z 有29Y=412-35=377, Y=13；再结合0≤z≤22，Y=13和c+29Y-412=z三条件，有 35≤c≤57）
而当35≤c≤57时，因为c+29Y-412=z，则有35≤z+412-29Y≤57，这里Y只有唯一解：Y=13；z有一组解且0≤z≤22.
将Y=13代入c+29Y-412=z 有c=z+35.
当23≤z≤57时，因为c+29Y-412=z，则有23≤c+29Y-412≤57，435-29Y≤c≤469-29Y
根据Y和c两数的取值定义域， Y只有一个解：Y=15；
将Y=15代入c+29Y-412=z 有c=z-23，则0≤c≤34
而当0≤c≤34时，因为c+29Y-412=z，则有0≤z+412-29Y≤34，这里Y只有一个解：Y=15；
将Y=15代入c+29Y-412=z 有c=z-23，则23≤z≤57
小结：四分术的历谱中，两次“连大”之间的间距，要么是15个月，要么是13个月，不会有其他可能。
我们称之为“连大月距13或15月定理”，简称“连大月距定理”。
公式：c+29Y+470=x，因x=441+y=882+z，所以：c+29M-412=z (关系通式4)
(1)连大月间距的朔小余关系式：前连后小朔小余+29倍的连大月距数+470等于后连前大朔小余
(2)前后连后小的朔小余关系式：前连后小朔小余+29倍的连大月距数-412等于后连后小朔小余
公式：当Y=13时，c-35=z，且0≤z≤22；35≤c≤57；
当Y=15时，c+23=z；且23≤z≤57；0≤c≤34 (关系组式5)
（1）当连大月间距为13月时，前连后小月朔小余-35等于后连后小朔小余，且后连后小月朔小余介于0～22（闭区间）之间；前连后小月朔小余介于35～57（闭区间）之间；
（2）当连大月间距为15月时，前连后小月朔小余+23等于后连后小朔小余，且后连后小月朔小余介于23～57（闭区间）之间；前连后小月朔小余介于0～34（闭区间）之间；
公式：当0≤c≤34时，Y=15，c+23=z且23≤z≤57；
当35≤c≤57时，Y=13，c-35=z且0≤z≤22；
当0≤z≤22时，Y=13，c-35=z且35≤c≤57；
当23≤z≤57时，Y=15，c+23=z且0≤c≤34 &nbs p;(关系组式6)
当连大后小月朔小余介于0～34（闭区间）时，则此次连大之后15个月必然再次连大；
当连大后小月朔小余介于35～57（闭区间）时，则此次连大之后13个月必然再次连大；
当连大后小月朔小余介于0～22（闭区间）时，则此次连大之前13个月必然再次连大；
当连大后小月朔小余介于23～57（闭区间）时，则此次连大之前15个月必然再次连大。
我们称关系式4、5、6为“连大”月距间月朔小余关系通式。

八、四分术“连大”的月间距规律

既然两次连大之间的连大月距是13月或15月，那么其再前后的连大月距将是如何？
我们再定义连大月距13月为“连大小距”，称连大月距 15为“连大大距”。
根据关系组式6：
当0≤c≤34时，其后的连大月距为大距15，c+23=z且 23≤z≤57；
当35≤c≤57时，其后的连大月距为小距13，c-35=z且 0≤z≤22；
就是说，当连大后小月朔小余0≤c≤34时，其后连大月距为大距，而后小月朔小余为23+c.
当12≤c≤34时，其后连大月距为大距，但是其后小月朔23+c≥35，从而其后连大月距为小距。
当0≤c≤11时，因为0≤23+c≤34，所以，其大距后依然是大距。
而两次连大大距后的连大其后小月朔小余为23+23+c=46+c，必然大于46，从而其后连大月距必然为小距。
当35≤c≤57时，其后连大月距是小距13，而其连大后小的月朔小余为c-35.因为35≤c≤57，所以，不论c取何值，c-35≤22，从而下一个连大月距必然为大距15.
也就是说，连大月距不可能连续2次为小距；也不可能连续 3次为大距。
我们称之为连大“无三大距和无二小距”定理。

九、太初历（三统历）的日法根源于四分术“连大”的月间距规律

根据连大大周期定理，940个月之内，连大各月朔小余不重复出现，且每隔940个月重复出现一次月朔小余相同的连大。而根据连大月间距月朔小余关系通式，前后连大之间的月朔小余及月间距是有函数关系的，那么就是说，在940个月内，这些连大月朔小余之间彼此既存在函数关系，又互不重复。那么940月内，后小月朔小余相差一的间距情况怎样呢？
假设某连大后小月朔小余为C,经过X个月（其中N个大月）后，月朔小余为C-1.则有：
C/940+(29+499/940)*X=29*(X-N)+30N+(C- 1)/940
经过整理有：499X=940N-1，940N=1+499X
这是一个一次同余式：
940N＝1 (MOD 499)
根据连大大周期得知，940月，大月499次，则N≤499,此域内，上式有解： N最小值为43，X=81
（解法拟另文讨论）
即每隔81个月会出现月朔小余依次减1.且这个81月内，有43个大月。
这个43和81正是后世邓平太初历（后经刘歆易名为“三统历”）的朔望月的重要数据。
笔者认为，三统历的朔望月数据29日又81分之43，正是来源于此。
也就是说，落下闳、邓平在保持“19年7闰和小月29日不变”的前提下，将“四分术月朔小余每940个月重复出现，且期间包含499个大月”的历法参数规律调整为“月朔小余每81个月递减1分，81个月期间包含43个大月”的太初历参数内涵，从而以此为基础，创制太初历。
只是他们没有阐明其中天机奥妙，反倒附会“律容”“黄钟”云云，故弄玄虚，后又经刘歆加工包装，称“元始黄钟初九自乘”更是难见面目，从而留下一笔2000多年的糊涂案。
这个论说，大概对于吕子方的连分数推导论[3]、朱文鑫的子母相加论[4]、李继闵的调日法论[5]和薄树人的不可解释论[6]似乎是一个比较有意义的补充或纠正。
根据连大定理，连大后小月朔小余为[0，57]，我们可得知，假如从月朔小余0出发，则940个月内没有重复，我们令某次连大后小的月朔小余为C.
则该次连大后每次连大的月距设为M1，M2，M3，M4……
且相应的各次连大后小月朔小余分别为C1，C2，C3，C4……
根据连大间距月朔小余关系式，有：
C+M1*29-412=C1，C1+M2*29-412=C2，C2+M3*29-412=C3……
从某连大后小的月朔小余＝0出发推求，根据连大月距间月朔小余关系通式有：
因为 C=0, 则 M1=15，C+23=C1,C1=23；
因为 C1=23,则 M2=15，C1+23=C2,C2=46；因为 C2=46,则 M3=13，C2-35=C3,C3=11；
因为 C3=11,则 M4=15，C3+23=C4,C4=34；因为 C4=34,则 M5=15，C4+23=C5,C5=57；
因为 C5=57,则 M6=13，C5-35=C6,C6=22；因为 C6=22,则 M7=15，C6+23=C7,C7=45；
因为 C7=45,则 M8=13，C7-35=C8,C8=10；因为 C8=10,则 M9=15，C8+23=C9,C9=33；
因为 C9=33,则M10=15，C9+23=C10,C10=56；因为C10=56,则M11=13，C10-35=C11,C11=21；
因为C11=21,则M12=15，C11+23=C12,C12=44；因为C12=44,则M13=13，C12-35=C13,C13=9；
因为C13=9,则M14=15，C13+23=C14,C14=32；因为C14=32,则M15=15，C14+23=C15,C15=55；
因为C15=55,则M16=13，C15-35=C16,C16=20；因为C16=20,则M17=15，C16+23=C17,C17=43；
因为C17=43,则M18=13，C17-35=C18,C13=8；……
……
如果我们根据“连大月朔小余关系和连大月距间月朔关系通式”，以初始月朔小余为

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0的某月为起点，不断推求，就会有越来越细的规律显现出来。
一个连大大周期940个月内，共有58次两月连大，即连大月为116个月；其余为“小大小大……小”相间的连大月距间隔其中。
而连大月距的大小距之间，显示我们论证的“无三大距和无二小距”；且连大的大距和小距之间呈现出：“大，大小大大小，大小大大小，大小大大小，……大小大大小，大小”次序规律。即81个月（包含5次连大和其间的“大小大大小”5次连大月距，共计5*2+15+13+15+15+13=81）重复出现月朔小余递减 1的规律。
（如果用EXCEL表格来推求，就会非常轻松地得到连大在 940个月之内的详细月朔小余对应以及连大月

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距情况，见“连大大周期940 个月简表”。）

连大大周期（940个月）简表

连大月距

连大月距条件函数

连大月序

前大月朔小余

后大月朔小余

后小月朔小余

后小月朔小余条件函数

M

A

B

C

882

441

15

=IF(F4<35,15,13)

1

905

464

23

=IF(F4<58,F4+A5*29-412)

15

=IF(F5<35,15,13)

2

928

487

46

=IF(F5<58,F5+A6*29-412)

13

=IF(F6<35,15,13）

3

893

452

11

=IF(F6<58,F6+A7*29-412)

15

=IF(F7<35,15,13）

4

916

475

34

=IF(F7<58,F7+A8*29-412)

15

……

5

939

498

57

……

13

6

904

463

22

927

486

892

451

915

474

938

497

903

462

　

15

12

926

485

44

13

13

891

450

9

15

14

914

473

32

15

15

937

496

55

13

16

902

461

20

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925

484

890

449

913

472

936

495

901

460

　

15

22

924

483

42

13

23

889

448

7

15

24

912

471

30

15

25

935

494

53

13

26

900

459

18

923

482

888

447

911

470

934

493

899

458

　

15

32

922

481

40

13

33

887

446

5

15

34

910

469

28

15

35

933

492

51

13

36

898

457

16

921

480

886

445

909

468

932

491

897

456

　

15

42

920

479

38

13

43

885

444

3

15

44

908

467

26

15

45

931

490

49

13

46

896

455

14

919

478

884

443

907

466

930

489

895

454

　

15

52

918

477

36

13

53

883

442

1

15

54

906

465

24

15

55

929

488

47

13

56

894

453

12

917

476

882

441

824

连大月距月数

116

连大月数

合计月数为

940

EXCEL表格清晰反映出连大月距的深层月朔小余数值关系以及与连大月距之间的一一对应关系。
通过EXCEL我们发现，在940个月大周期内，从月朔小余为0开始，经过第一次连大后的后小月朔小余为23，自此，每隔（2+15+2+13+2+15+2+15+2+13）=81个月出现月朔小余依次减一的现象。验证了笔者的推理。
以上分析出的四分历大小月规律，可以为已出土的历谱进行修复和还原提供比较有用的原理性支持。如果结合月朔小余和24气小余，就可以进一步为还原上古历法提供帮助。

[1] 曲安京，《中国数理天文学》，科学出版社，2008，p133-p389
刘洪涛，《古代历法计算法》，南开大学出版社， 2003年，第一版，p241
[2]《宋书历志上》，见“国学网”四库丛书
刘洪涛，《古代历法计算法》，南开大学出版社， 2003年，第一版
[3] 吕子方，“《三统历》历意及其数源”，见《中国科学技术史论文集》上，四川人民出版社。P1
[4] 陈遵为，《中国天文学史》，上海人民出版社，1980
[5] 李继闵，《算法的源流》，科学出版社，2007年，p221
曲安京，《中国历法与数学》，科学出版社， 2005年，p179
[6] 薄树人，“太初历与三统历”，见《中国古代历法》第四章，中国科学技术出版社，2008年，p250
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