数学文化-苏俊林：孙吴吏民的数值计算与基层社会的数学教育——以走马楼吴简为中心

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原文标题：苏俊林：孙吴吏民的数值计算与基层社会的数学教育——以走马楼吴简为中心

传世文献中缺乏关于孙吴的史料，直接导致学界对孙吴历史特别是孙吴社会的研究较少。走马楼吴简的出土，为研究孙吴社会历史提供了新的契机。20年的吴简研究已是硕果累累。[1]中日学者对吴简进行了细致、深入的研究，在孙吴政治史、制度史、社会史、经济史等诸多领域都有很大进展，也极大地推动了孙吴乃至秦汉三国历史的研究。即便如此，仍有值得继续研究的地方。本文试图以走马楼吴简为中心，分析孙吴时期吏民的数值计算，进而对基层社会的数学教育进行分析，以期能推进对孙吴基层社会的研究。

一、问题的提出

走马楼吴简内容十分丰富，其中的《嘉禾吏民田家莂》（后略称为“田家莂”）和仓的出入米记录，都是十分重要的涉及数值计算的档案资料。田家莂为大木简，一支简上完整记录了某户人家的田亩数额，米、布、钱的交纳数额，交纳时间及收税吏员等。仓的出入米记录则多为简构成的簿籍，[2]但也有记录在牍上的完整的领受米记录，称之为“仓受米牍”。[3]纳入本文讨论的，正是这些在一枚简或牍上记录完整的数值资料，即田家莂和仓受米牍，以最大限度地确保资料的原始性和可靠性。

学者早已注意到田家莂中存在不少错误，[4]并对其中的数值错误进行了校正。[5]在此基础上，我们曾对嘉禾四年、五年吏民田家莂中的数值错误进行统计，发现不少田家莂都存在数值错误。[6]仓受米牍中的数值也存在计算正确和计算错误的情况。走马楼吴简中既有数值正确的简例，也有数值错误的简例，数值计算状况复杂。

关于田家莂中数值错误的形成，胡平生先生进行过详细分析，并认为某些田家莂有徇私舞弊的嫌疑。[7]我们曾对田家莂中的舞弊行为进行专门分析，总结出基层吏员的4种舞弊手法。[8]大量存在的数值错误，一方面存在徇私舞弊的可能，另一方面可能也与吏民的计算能力有关。胡文及拙文曾对此有所涉及但并未深入，也未讨论这背后的基层社会生活。因此，有对此进行专门研究的必要。需要事先说明的是，虽然本文中主要涉及计算能力与数值计算的内在关系问题，但这并不代表我们忽略数值计算中存在的徇私舞弊行为。此方面已有相关成果，可以参看。

另外，出土简牍中陆续公布的《算数书》、《数》等数学材料显示，到孙吴时期，数学已经相当发达。在此背景之下，为何还会出现如此多较为低级的数值错误？孙吴时期吏民的数值计算状况反映出怎么的基层教育？本文试图对此进行分析。不当之处，敬请指正。

二、吴简中关于吏民数值计算的例证

《三国志·吴书·顾雍传附顾谭传》载：“赤乌中，（顾谭）代恪为左节度。每省簿书，未尝下筹，徒屈指心计，尽发疑谬，下吏以此服之。”[9]由此可见，官府的某些簿书中存在着数值计算错误。孙吴时期吏民数值计算的整体情况如何，需要更多的实例证据。在此，我们以走马楼吴简中的田家莂和仓受米牍这两种记录完整的数值资料为依据，先对孙吴时期吏民的数值计算情况进行例证分析。

（一）田家莂中的数值计算

我们曾注意到，田家莂中的某些计算已经达到非常精准的程度，同时，我们也特别提到田家莂中存在1亩田地也计算错误的简例。[10]这两种极端化的数值计算情况都存在于田家莂之中。关于田家莂中的数值错误，诚如《嘉禾四年吏民田家莂解题》所说：“仅从文书所提供的数字加以核算，就可以看到统计中有许多问题。如，总亩数与常限田、余力田、旱田、熟田等分类的亩数不合，按照佃田亩数与规定的收米、布、钱的定额算，合计数字有出入，或者多，或者少。”[11]田家莂中的数值计算情况颇为复杂。

1、整数计算错误。

田家莂中有不少整数计算的简例，有的计算正确，有的计算错误。此处先分析整数计算错误的情况。先看下面这枚田家莂：

整理者注释：按照田亩数与亩租额计算，应收布19.8寸，应收钱111钱。[12]但是简文所记的收布、钱为：收布23.2寸，收钱129钱。实际多收布3.4寸，多收18钱。五常家祗有常限旱田3亩，属于数额较小的整数计算。如此程度的计算也数值有误。

田家莂4·6中田地类型单一，祗有旱田。再看下面这枚田地类型较多的田家莂：

整理者已注意到田亩总数记载有误，记载为57亩，实际应为87亩。[13]此外，收布、钱数也有误。张惕家的田地类型较为复杂，分别为常限熟田10亩，常限旱田56亩，余力熟田14亩，余力旱田7亩。此田家莂中的收米数无误，收布、钱数有误。整理者计算结果为:应收布895.8寸，钱4011钱。[14]但实际收布843.6寸，钱5002钱。意即：实际少收布52.2寸，多收钱991钱。此田家莂中有4种田地，数额相对较大，存在整数计算错误的情况。

整数计算中的数值错误简例，恕不一一例举。田家莂中的田亩，有的记载到亩单位，有的记载到步单位。记载到亩单位的田家莂，应交数额为各种田地的田亩数×每亩应交米、布、钱的定额，然后将米、布、钱各项分别相加。就计算程度而言，都属于整数的乘、加运算。这种计算的“复杂性”主要在于不同性质田地的征纳标准不同。田家莂中的田地类型大致有二年常限田、余力田、余力火种田、租田、税田等，又有熟田、旱田之别。各种田地征收标准不同，且受交纳者身份的影响。[15]有些土地如“余力火种田”中的熟田可能还要执行“斛加五升”的规定。[16]有鉴于此，多种田地的数值计算可能略显复杂，单一性质田地的数值计算则很简单。但是，不论是单一性质田地还是多种性质的田地，不过是整数的乘法、加法运算而已。对于专门负责租税收纳的基层吏员而言，这种程度的数值计算尚难说是复杂。

2、分数计算错误。

分数计算的产生是因为某些田家莂有步单位。就田家莂所见，孙吴时期长沙地区执行的是240步=1亩的大亩制。[17]因此，记载步单位的田家莂可能会出现分数计算的情况。嘉禾四年记有步单位的田家莂较少，祗有2件；嘉禾五年记有步单位的田家莂较多，共359件。[18]其中不少涉及分数计算，部分有计算错误。先看下简：

关于此定收田（熟田）的田亩数，整理者认为：“按收米数及收布数计，定收亩数应为‘十三亩七步’，简文衍‘十’字。”[19]“旱败不收布”、“旱田不收钱”，实际上嘉禾五年旱田也不收米。简文收米数为159斗，按熟田每亩收米12斗的标准反算，熟田应为13亩60步（亩），与简文所记的13亩70步（亩）接近。[20]可视为按13亩70步计算后进行了尾数整数化（舍弃了斗以后的数据0.49斗）。[21]简文所记收布数为260寸，按照“亩收布二尺”反算熟田为13亩。收钱数为1040钱，按照“熟田亩收钱八十”反算熟田为13亩。[22]意即收布、钱的原始数据上都没有计算步数。

又如下简：

简中收米数按熟田亩计算，但收布、钱数额则可能是按熟田亩计算。[23]意即计算布、钱的时候，为了计算方便，少算了30步。5/8亩与1/2亩正好相差30步。

甚至，步数为120步的田家莂也有计算错误的情况。如下简：

按定收田亩计算，应交米162斗，布270寸，[24]钱1080钱。但实际交米152斗，布260寸，钱1080钱。实少交米10斗，布10寸。5·166中虽然是分数计算，但120步=1/2亩，计算程度并不复杂，却也存在计算错误。

3、整数计算无误。

田家莂中错误的简例不少，但计算无误的简例也很多。整数计算无误的简例，如：

此简中常限旱田10亩，应收布66寸，米370钱，与实际所收布、布钱数相吻合。

田家莂4·28中祗有常限旱田，计算简单。再列1枚有多种田地的田家莂。如下：

黄喜家有常限熟田10亩，常限旱田80亩，余力田（实际上为余力熟田）20亩，3种田共110亩。按照各种田地应交租税的标准合算，其应交米211.2斗，布1128寸，钱5060钱。应交米、布、

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钱数与实际所交米、布、钱数相吻合，原始数据计算无误。布、米换算率为1斗米=2尺布，与嘉禾四年常见的布、米换算率相同。钱、米换算率约为1斗米≈149钱，与嘉禾四年常见的钱、米换算率1斗米=160钱有一定差距。胡平生先生曾多次提及算筹错位的可能。[25]按此思路，钱准米数中的“五合”可能是“五升”的错位。意即实际的钱准米数可能是31.5斗。若按此计算，钱米换算率则为1斗米≈160.6钱，与嘉禾四年常见的钱米换算率非常接近。此简有常限熟田、常限旱田、余力熟田3种性质的田地，计算较4·28复杂，但其原始数据无误。即便考虑布、钱准米数，此简亦可视为整数计算无误的简例。

4、分数计算无误。

田家莂中定收田有步单位的都涉及分数计算。某些田家莂定收田为“X亩百廿步”，这种情况一般计算无误。如下面这枚简：

谢奴家田亩总数为43亩，都是二年常限田。其中旱田亩，定收田（熟田）亩。嘉禾五年旱田不收米、布、钱，祗对熟田收取租税。按照熟田亩计算，谢奴家应交米234斗，布390寸，钱1560钱。实际交米、布、钱数与此吻合。

定收田为“X亩百廿步”虽然也属于分数计算，但因的计算相对简单，所以大多没有错误。此外，也存在无法除尽的分数计算基本无误的情况。如下面这枚简：

严追家田亩总数为亩，其中旱田亩，定收田（熟田）亩。按此计算，应交米约131斗，布约218.3寸，钱约873钱。与实收数额相比，收米数相合，收布数多1.7寸，钱少3钱。考虑到当时可能允许存在的尾数整数化，实际收布数收整到尺单位，收钱数则去掉了尾数。若此，则此简可视为分数计算无误。需要特别注意的是，应交米数精算应为130.999……斗，收整为131斗，与实际交米数吻合。可见其计算能力的精准程度。[26]

（二）仓受米牍的数值计算

田家莂之外，仓受米牍中也存在数值正确和数值错误的简例。

1、数值错误的简例。

先看数值错误的简例。如下：

按各项“其”米的数值合计，总米数应为1251.33斛，较简文所记总数少476斛。[28]

2、数值正确的简例。

也有数值正确的简例。此仅举1例，如下：

按各项“其”米的数值合计，总米数应为348.58斛，与简文所记总数相吻合。

上文所引3枚仓受米牍中的数值计算，祗涉及加法运算。即便是如此简单的计算，也有数值错误的简例。值得注意的，3枚牍中的受米者都是州中仓仓吏郭勋、马钦、张曼、周栋4人，报告者都是（故）仓吏番虑。这就意味着，在受米者相同的情况下，有的数值错误，有的数值正确。

通过对田家莂和仓受米牍的例证分析可知，不论是田家莂还是仓受米牍，都有数值正确和数值错误的简例；不论是整数计算还是分数计算，都存在数值正确和数值错误的简例。某些田家莂如5·16的交米数，数值计算非常精准。说明某些吏员已经具备极高的计算能力。但就走马楼吴简数值计算的整体情况看，当时某些吏民可能确实存在计算能力欠缺的问题。此外，田家莂中不少定收田是“X亩百廿步”。粗略统计，定收田步数为120步的田家莂，嘉禾四年1件，嘉禾五年85件。[29]此类田家莂中除极少数如简5·166有数值错误外，大多是数值正确，米、布、钱3项都数值无误。嘉禾五年的一些田家莂，田亩总数中有步数但定收田没有步数，步数都在旱田中。嘉禾五年旱田不交租税。即便总田亩数记有步数，但步数都划到旱田，纳入实际计算的田地并没有步数，属于整数计算。将定收田步数定为120步，以及将田亩总数中的步数划到旱田而将定收田保留为整亩数，应有计算便利的考虑。

田家莂的收纳者和校核者都是基层吏员，缴纳者中有基层吏员（包括州吏、郡吏、县吏，以及军吏），还有州卒、郡卒、县卒，甚至还有士和复民，但主体是普通民衆。仓受米牍涉及的都是基层吏员。田家莂和仓受米牍涉及的对象都是基层社会的吏民。就田家莂和仓受米牍中的数值计算情况看，孙吴时期虽不乏计算精准者，但基层吏民的数值计算能力可能有整体偏低的倾向。当然，吴简中复杂的数值计算情况，不全是吏民计算能力的问题，也参杂着基层吏员的舞弊行为。

三、数学的高度发达与社会的数学教育

数值计算涉及到吏民的计算能力。前引《三国志》中，顾谭“每省簿书，未尝下筹，徒屈指心计”，凭心算就能发现其中的错误，可见其计算能力很高。孙吴时期基层吏民的计算能力如何，值得我们详加分析。就社会层面而言，基层吏民的计算能力，既与当时数学发展状况有关，更与社会中的数学教育有关。

1、高度发达的数学。

作为中国早期的数学文献，广为人知的当属《九章算术》（刘徽注本《九章算术注》）。《九章算术》虽成书于公元1世纪前后，[30]但据刘徽《九章算术注序》可知，西汉张苍、耿寿昌等都曾对《九章算术》进行过“删补”。[31]不过，《九章算术》并未见于《汉书·艺文志》。《汉书·艺文志》中载有两种以“算术”命名的书，分别为《许商算术》26卷，《杜忠算术》16卷。[32]汉代不多的数学书中，流传最广的应是刘徽所注的《九章算术》。关于《九章算术》的学术地位，学者曾给予高度评价，认为“它所确立的数学框架，它的数学成就、体例和特点影响了中国和东方传统数学的始终”，“它的主体部分和主要成就是在先秦完成的，超前其他文化传统的数学几个世纪甚至上千年”。[33]对于《九章算术》的数学成就，人们应无多大异议。《九章算术》的存在，表明此时期数学已经达到非常高的水平。

传世文献之外，出土简牍中也出现了数种数学书，如北京大学藏秦简《算书》、[34]岳麓书院藏秦简《数》、[35]张家山汉简《算数书》、[36]睡虎地汉简《算术》、[37]阜阳双古堆汉简《算数书》。[38]这几种数学书大多以问题集的形式记载与实际生活相关的算题。岳麓书院藏秦简《数》、张家山汉简《算数书》等的内容，与《九章算术》有相似之处。

从先秦、秦汉到三国，中国传统数学中出现了多种版本的数学书。据这些数学书的内容可知，到三国时期数学已经高度发达，处于非常高的水平。

2、社会中的（算术）数学教育。

先秦时期，受教育是贵族享有的特权。此时教育的主要内容是“六艺”。《周礼·地官·司徒》载:“保氏掌谏王恶。而养国子以道：乃教之六艺，一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”[39]“六艺”即礼、乐、射、御、书、数。[40]数虽为“六艺”之一，但并不受重视。有学者指出，大约从孔子时代开始，教授内容从六艺变为六经，从“技能的教授变为经典的教授”，数等实用科目“在孔子的新定课程中便不居重要（或不可少）的地位了”。[41]教育虽然走向民间，但教育内容已发生很大变化。先秦时期，学术以诸子学说为主。《论六家要旨》曾言：“《易大传》：‘天下一致而百虑，同归而殊途。’夫阴阳、儒、墨、名、法、道德，此务为治者也，直所从言之异路，有省不省耳。”[42]诸子学说虽杂，但多以“为治”为立论宗旨，主要为国家和社会理论，甚少涉及数学教育。

到了汉代，数学教育的状况并未得到多大改善。汉代中央设太学，地方设郡国学，立博士官与郡文学来教授。关于太学，董仲舒曾上书言：

夫不素养士而欲求贤，譬犹不琢玉而求文采也。故养士之大者，莫大虖太学；太学者，贤士之所关也，教化之本原也。今以一郡一国之衆，对亡应书者，是王道往往而绝也。臣愿陛下兴太学，置明师，以养天下之士，数考问以尽其材，则英俊宜可得矣。[43]

太学的职责主要在于教化和养贤。有学者指出：“太学实际上是一所儒学专门学校，所传授的知识是单一的儒学经典。”[44]此说或有武断之嫌，但数学教育不是太学的职责所在也很显然。两汉博士多以经学博士为主，尚未见到算术或数学方面的博士。已有学者注意到，“因为其（郡文学）职为教授学生，故皆以明经者为之”。[45]严耕望先生考察“郡县学官”，认为学官多文学、祭酒，“至于教学科目，郡文学既明经，而掾师或有五经之别，则五经自为学官中之主要科目”。[46]郡的学官以五经为主要教授科目，县的学官可能亦是如此。太学、郡县学官的教授者多为儒学之士，教授内容应以儒学为主。

官学中数学教育不受重视，私学中的数学教育可能也祗占极小部分。有学者专门对中国古代私学中的数学教育进行考察，认为：“数学教育成为（汉代）经学教育的内容，得到延续和发展，这时，私学中的数学教育，一是私家传授历算，如张苍就曾私授历算学；二是传授卜筮者，也都传授一些数学知识；三是授经者，一般是名儒、经学大师才能办授经的私学，同时讲授有关的数学知识；

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四是启蒙的小学，应有‘算术’的内容。”[47]虽然不能完全否定这种推论，但此类教授程度如何让人怀疑。历算确实要求非常高水平的计算能力，历算学中传授算术应当可信。[48]张家山汉简《二年律令·史律》中卜学童的考课并不涉及算术（见后文）。卜筮、儒学特别是讲究“义利之辨”的儒学，能教授多少算术之学颇让人怀疑。

不仅如此，学算术者也很难为官。秦汉入仕途径多样，三国时期多有沿袭。虽然仕进途径多样，但学界大致认为，秦重军功，汉则重察举和征辟。察举的科目主要有孝廉、茂才、贤良方正、贤良文学、明经、明法、至孝、有道、敦厚、尤异、治剧、勇猛知兵法、明阴阳灾异等。[49]这些科目与算术几乎毫不相干。被征辟者多是地方有声望的人。他们之中或许不乏善算者，但其声望的建立以德行、学识为主，鲜有人因善算而成名士进而被征召。无论秦汉还是三国，算术都不是入仕的途径。至于如桑弘羊、梁丘贺等以“心计”入仕者，[50]两汉、三国时期都极为少见。尹湾汉简中有“用筭佐”，[51]是非常少见的与算术有关的职官。但仅见于太守府和都尉府，各1人。其他地方尚未见到类似职官。学习算术难以入仕为官，也就难以改变自己的社会地位。[52]此种情况也将影响算术等数学教育的发展。

秦汉、三国时期数学已经取得很高的成就，但这并不表示整个社会的计算能力会因此得到普遍提高。发达的数学转化为个人的计算能力，需要社会教育的普及以及个人学习的努力。秦汉时期（算术）数学教育可能曾是官学甚至可能也是私学的教育内容之一，但祗是其中极小的一部分，甚至是其他教育的“副产品”。在两汉教育日渐经学化、儒学化，整个社会日渐道德化的背景之下，（算术）数学教育可能会日渐衰落。对于普通民衆而言，出于生计压力等原因，能识字已是万幸，遑论更为复杂的算术学习了。汉灵帝光和七年（184）黄巾事起后，社会长期陷于动荡，基层吏民逃乱、保命尚且不及，更妄论算术学习了。到了三国孙吴时期，尚处乱世的基层吏民欠缺计算能力，也就可想而知。

四、两汉以来轻视算术的社会传统

吴简中的数值计算状况，除与社会轻视（算术）数学教育、吏民缺乏计算能力有关外，可能还与两汉以来轻视算术能力的社会传统密切相关。

东汉杨终曾言：“礼制，人君之子年八岁，为置少傅，教之书计，以开其明；十五置太傅，教之经典，以道其志。”[53]注引《礼记·内则篇》言：“十年出就外傅，居宿于外学书计。”到了一定年龄的学童都应接受算术教育。西汉董偃曾养于馆陶公主家，“因留第中，教书计相马御射，颇读传记”。[54]颜师古注曰：“计谓用算也。”董偃曾受算术教育。《后汉书·皇后纪》载：“太后自入宫掖，从曹大家受经书，兼天文、算数。”[55]虽贵为太后，仍接受算术教育。三国时期蜀国李譔也曾接受算术教育。[56]秦汉、三国时期不仅有受过算术教育的人，还有一些善算者。《汉书·沟洫志》载：“（许）商、（乘马）延年皆明计算，能商功利。”[57]此外，善算者还有耿寿昌、[58]冯勤“八岁善计”，[59]马续“善《九章算术》”，[60]郑玄“善算”，[61]王粲“性善算”，[62]历算者李修、夏显、刘洪等也都善于计算，[63]等等。甚至善算如何祗者，“使人投算，祗听其读而心计之，不差升合，其精如此”。[64]至于如“能书会计”的王美人、[65]“能计算”的陈炽等，[66]两汉时期应有不少。

秦汉、三国时期虽有不少人接受过算术教育，也有不少“能计算”、“善算”之人，但在拥有数千万人口的时代，他们祗是极少数。管见所及，秦汉、三国时期关于某人学习算术或者关于某人算术能力的史料并不多见。就更大范围看，轻视算术能力可能是整个社会的传统。轻视算术的社会传统表现之一是学童考课不考算术。《汉书·艺文志》载：

汉兴，萧何草律，亦著其法，曰：“太史试学童，能讽书九千字以上，乃得为史。又以六体试之，课最者以为尚书御史史书令史。吏民上书，字或不正，辄举劾。”[67]

张家山汉简也有类似规定，见于《二年律令·史律》。[68]具体内容如下：

史、卜、祝的考课内容并不完全相同，诵书为共同要求，即都要求识字。史学童还要求“以八体试之”，即要求具备一定的书写能力。《汉书·艺文志》和《二年律令·史律》关于史学童的要求，前者为“能讽书九千字以上”，后者为“能风（讽）书五千字以上”，差距悬殊。是因前者要求太高鲜有人能达到，故而降低了标准？具体原因不得而知。《二年律令·史律》中，三种学童的考课都未对算术能力提出要求。虽不能据此断定这些学童算术能力差，但不将算术列为考课内容，至少表明当时存在轻视算术能力的社会现象。

风诵对全体幼童都有要求，但“计会”的要求似乎不具有普遍性。居延新简《苍颉篇》中言：“苍颉作书，以教后嗣。幼子承昭（诏），谨慎敬戒。勉力风诵，昼夜勿置。苟务成史，计会辨治。超等轶群，出尤别异。（E.PT50：1A）”[70]依其所言，“计会”似乎是对那些希望成为吏的人的要求。对于那些不想成为吏的人，“计会”或许不是必不可少的能力要求。果真如此，这种汉代改编本的《苍颉篇》，[71]在广为传播的过程中，可能也会影响“计会”能力的普及程度。

轻视算术的社会传统另一表现，是某些史书中也有数值错误。尚新丽先生在对西汉人口问题进行研究时，已经注意到《汉书·地理志》所记户口数值有抵牾现象，其说道：

《汉书·地理志》所记载的总户数是12233062，总口数是59594978，史称汉之极盛。但这个数字与《地理志》所载103个郡国户口逐一相加所得数出入较大。经重新合计，户数是12356470，口数是57671402，比原书所载总数多123408户，少1923576口。为什么会出现这种现象呢？可能是原书合计错误或抄写错误。[72]

错误原因尚且不论，但《汉书·地理志》中的户口数值记载有误则是肯定的。其实，不仅《汉书·地理志》的户口数值有误，《续汉书·郡国志》的户口数值也可能有误。有学者注意到《续汉书·郡国志》所记东汉户口数目存有谬误，玄菟郡户数记载错误的可能性很大，辽东郡的口数、户数存在记载失实的可能性。[73]即便不考虑没有登录户口的情况，两汉史书所载的户口数值也存在错误。

还有一种文献的数值也值得注意。《汉书·艺文志》详细记载了书籍的种类、家数、篇（卷）数等，班固曾分种、略进行分类合计，最后对六略的数目进行了总计。有学者对各项统计数字重新核算。就核算结果看，不论是分类合计还是最后的总计，都与《汉书·艺文志》的统计数字不尽相同，各种文献在家数、篇（卷）数上统计数字不合的情况并不少。[74]此外，书目统计数字存在问题的现象，《隋书·经籍志》中也有存在。已有学者注意到《隋书·经籍志》的统计数字与实际著录的数目不合，对其进行了重新统计。[75]

社会教育不重视算术等数学教育，学童考课也不考算术，说明当时社会上广泛存在着轻视算术能力的现象。这种现象会逐渐形成一种轻视算术能力的社会传统，并随着社会教育的儒学化、经学化和社会的道德化而日渐强固。日渐强固的轻视算术能力的社会传统，将极大地阻碍整个社会算术水平的提高，进而影响计算的准确性。班固等史家的著述中都存在计算错误。有学识的史家尚且如此，更毋论基层社会的吏民了。[76]由此可见，在此社会传统下，淡薄的算术意识和薄弱的算术能力到了何种地步。

五、自学：基层社会的教育途径

秦汉三国时期并不重视算术等数学教育，存在着轻视算术能力的社会传统。不过，也确实存在一些善算之人。甚至，算术还作为一种能力而写入官吏的考课文书。居延汉简的考课文书中有“能书会计”的记载，如下：

有学者认为，“能书会计”是基层吏员重要的考课标准。[78]“能书会计”包括“能书”、“能会计”两项能力。[79]“能书”指能书写，书写内容不限于写字，可能还包括书写文书。“能书会计”成为吏员的考课内容，正好与《苍颉篇》中“苟务成史，计会辨治”的记载相吻合。但是，前言官学几乎不教授算术，史学童等的应试也对算术不作要求，此时却将“会计”作为考课内容。张家山汉简《二年律令·史律》中有史、卜、祝三种学童，但学童的来源有规定。睡虎地秦简《秦律十八种·内史杂》载：“非史子殹（也），毋敢学学室，犯令者有罪。”[80]《二年律令·史律》也载：“史、卜子年十七岁学。”[81]社会普通民衆难以通过此途径入学。那么，这些基层吏员在哪儿学的算术？

我们认为可能主要是自学。出土简牍中已经发现了清华大学藏战国简《算表》、[82]里耶秦简“九九表”、[83]北京大学藏秦简牍“九九表”、[84]张家界汉简“九九表”、[85]以及西北汉简“九九表”等。[86]这些实用的运算工具可能正是基层吏员平日学习算术所用。“九九表”这种较为简单的运算工具似流传更广，而相对“高级”的《算表》则较为少见。这可能与基层吏员的计算需求有关。若要学习更多的数学知识，则需要使用北大秦简《算书》、岳麓秦简《数》、张家山汉简《算数书》、睡虎地汉简《算术》、以及《九章算术》等数学书。

对于基层吏民而言，不仅算术多为自学，可能识字和书写也多为自学。敦煌汉简、尼雅汉文木简、居延汉简、居延新简、玉门花海汉简、敦煌马圈湾汉简、阜阳汉简、永昌水泉子汉简、北大西汉简等出土的《苍颉篇》、《急就篇》等字书，[87]当为基层吏员平日识字所用。另外，里耶秦简、[88]居延汉简、[89]长沙五一广场东汉简、[90]长沙东牌楼东汉简、[91]郴州苏仙桥吴简等出土简牍中，[92]都出土有习字简。它们应是基层吏员平日练习写字所用。甚至有学者认为，简牍中的“觚”就是习字用的书写材料。[93]字书和习字简的出土，说明当时不乏通过自学来提高自己识字和书写能力的基层吏员。

《汉书·食货志》载：“八岁入小学，学六甲五方书计之事，始知室家长幼之节。十五入大学，学先圣礼乐，而知朝廷君臣之礼。”[94]“计”为计算之意。即8岁开始学习算术。但是，这条记录是“先王制土处民富而教之之大略”，[95]汉代是否依然如此难以断定。即便当时仍然存在这样的规定，执行起来可能也差强人意。或者所学极为肤浅。试想，如果8岁开始能学到较多算术知识，何至于在十余年甚至数十年之后，还将九九表随身带至官署，甚至死后也用其陪葬？王子今先生对居延汉简中的字书和九九表进行分析后认为：“这些成年士卒确实在应用蒙学课本在提高自己的文化素质”，“当时在戍守西北边防的军队中，这些教材承担了成人扫盲和进行初级文化培训的作用”。[96]出土于私人墓穴（多为郡县属吏）和官署遗址的字书、习字简、九九表和数学书等，正说明当时基层吏民的识字、书写与计算能力普遍低下，所以才有经常使用它们来学习的需要。

走马楼吴简中尚未见到九九表、数学书，也尚未见到字书和习字简。不过，郴州苏仙桥吴简中有习字简。同批简中出现了“赤乌”年号，赤乌为孙权时期“嘉禾”之后的年号。苏仙桥吴简的年代与走马楼吴简的年代接近。这就意味着，在离长沙郡不远的桂阳郡，在时间接近于走马楼吴简的时代里，仍有官府吏员在练习书写能力。考虑到走马楼吴简所反映出的数值计算情况，说孙吴时期基层吏民的识字、书写与计算等文化素养较为低下，应能成立。

六、余论

走马楼吴简中的数值计算较为复杂。这种计算情况与数学教育程度有关。轻视算术能力的社会传统，也对此产生影响。对于基层社会的吏民而言，自学是其接受识字、书写与计算等文化教育的重要途径。孙吴时期基层社会的文化程度整体偏低。

走马楼吴简中有“私学”。学界关于“私学”身份的研究较多，凌文超先生认为私学是国家承认的、在服役的同时跟随私人学习知识技能、将来可能被选任为吏的人。[97]可能较为切合实情。于振波先生曾对私学的籍贯进行统计，能确定籍贯的21例私学中，标明“长沙”的有13例，“临湘”3例，“罗”1例，武陵郡、南郡、南阳郡、汝南郡各1例。[98]孙吴治下的长沙等郡县，虽然有吏民在学习各种文化知识，但人数并不多。另外，我们也不能对私学在算术能力方面的学习抱有过多期望，其学习内容主要在于识字、书写的可能性很高。

孙吴为了维护自己的统治，曾设有负责校核文书的专职吏员。不过，这些吏员并没有发挥其应有的功效，田家莂的数值记录依然错误百出。这反映出孙吴时期基层吏治弊端丛生的现状。[99]但是，即便田家莂中错误百出，某些错误很不可思议（如1亩也有数值错误），吏民依然选择了如数缴纳。此种状况的出现，除了考虑当时基层吏民计算能力低下的因素外，也应考虑他们在乱世中选择暂时容忍以换取安定生活的可能性。当然，深处乱世的孙吴民衆，即便想学习识字、书写与计算，不少人可能也没有这样的条件。

注释
[1]截止2015年12月，走马楼吴简研究成果的统计结果为：学术专著、论文集23部，论文600余篇。参见李国斌、管震《10万余枚走马楼吴简完成保护整理》，《湖南日报》2015年11月28日第1版。
[2]邓玮光先生发表多篇文章，对仓的出入米记录进行了富有创见性的复原研究，参见氏著《走马楼吴简三州仓出米简的复原与研究——兼论“横向比较复原法”的可行性》，《文史》2013年第1辑，第231—254页；《对三州仓“月旦簿”的复原尝试——兼论“纵向比较复原法”的可行性》，《文史》2014年2辑，第5—35页；《对中仓黄龙三年十月旦簿的复原尝试》，楼劲主编：《魏晋南北朝史的新探索：中国魏晋南北朝史学会第十一届年会暨国际学术研讨会论文集》，北京：中国社会科学出版社，2015年，第645—677页；《走马楼吴简“出米简”的复原与研究》，杨振红、邬文玲主编：《简帛研究2015》（春夏卷），桂林：广西师范大学出版社，2015年，第201—217页；《对中仓黄龙三年十一月旦簿的复原尝试》，杨振红、邬文玲主编：《简帛研究2015》（秋冬卷），桂林：广西师范大学出版社，2015年，第182—214页；《对中仓十二月出米简[肆]4012组的复原尝试》，苏州博物馆编：《苏州文博论丛》（总第6辑），北京：文物出版社，2015年，第45—55页。
[3]徐畅先生称之为“仓入受米记录”，参见氏著《走马楼吴简竹木牍的刊布及相关研究述评》，武汉大学中国三至九世纪研究所编：《魏晋南北朝隋唐史资料》（第31辑），上海：上海古籍出版社，2015年，第25—74页。本文取简文中“受”、“米”二字，加上所属单位“仓”，以及记录的材质“牍”，暂称其为“仓受米牍”。
[4]日本学者伊藤敏雄先生很早就注意到嘉禾吏民田家莂中存在亩数和纳入数的计算不合、换算错误等计算错误，参见氏著《三国呉の帳簿の計算ミス》，《東アジア研究》37，2003年，第1—2页。
[5]先后对田家莂进行校正的成果有：胡平生：《<嘉禾四年吏民田家莂>统计错误例解析》，《胡平生简牍文物论稿》，上海：中西书局，2012年，第367—395页；高敏：《<长沙走马楼三国吴简·嘉禾吏民田家莂>释文注释补正——读长沙走马楼简牍札记之八》，《长沙走马楼简牍研究》，桂林：广西师范大学出版社，2008年，第67—80页；黎石生：《<嘉禾吏民田家莂>释文补正》，《中国文物报》2002年10月18日第7版；凌文超：《<长沙走马楼三国吴简·嘉禾吏民田家莂>数值释文订补》，卜宪群、杨振红主编：《简帛研究2008》，桂林：广西师范大学出版社，2010年，第286—295页；陈荣杰、张显成：《&l

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t;嘉禾吏民田家莂>释文注释的数值问题》，《古籍整理研究学刊》2012年第2期，第26—29页；[日]长沙吴简研究会编（伊藤敏雄・阿部幸信主編）：《<長沙走馬楼三国呉簡嘉禾吏民田家莂>釈文補正》，《長沙呉簡研究報告》（第2集），東京，2004年，第95—106页；[日]长沙吴简研究会编（伊藤敏雄・阿部幸信主編）：《<長沙走馬楼三国呉簡嘉禾吏民田家莂>釈文補注》，《長沙呉簡研究報告》（第3集），東京，2007年，第111—124页。
[6]相关统计结果详见拙文《嘉禾吏民田家莂与孙吴身份等级体系》，《文史》2015年第3辑，第25—45页。
[7]胡平生：《<嘉禾四年吏民田家莂>统计错误例解析》，第389、392页。
[8]拙文：《<嘉禾吏民田家莂>所见孙吴基层吏员的舞弊手法》，陈建明主编：《湖南省博物馆馆刊》（第11辑），长沙：岳麓书社，2015年，第395—402页。
[9]《三国志》卷五二《吴书·顾雍传附顾谭传》，点校本，北京：中华书局，1982年，第1230页。
[10]拙文：《<嘉禾吏民田家莂>所见孙吴基层吏员的舞弊手法》，第401—402、396页。
[11]长沙市文物考古研究所、中国文物研究所、北京大学历史学系走马楼简牍整理组编：《长沙走马楼三国吴简 嘉禾吏民田家莂》（上），北京：文物出版社，1999年，第72页。
[12]长沙市文物考古研究所、中国文物研究所、北京大学历史学系走马楼简牍整理组编：《长沙走马楼三国吴简 嘉禾吏民田家莂》（上），第73页。另，本文所用单位，米统一为“斗”，布统一为“寸”。
[13]长沙市文物考古研究所、中国文物研究所、北京大学历史学系走马楼简牍整理组编：《长沙走马楼三国吴简 嘉禾吏民田家莂》（上），第75页。
[14]长沙市文物考古研究所、中国文物研究所、北京大学历史学系走马楼简牍整理组编：《长沙走马楼三国吴简 嘉禾吏民田家莂》（上），第75页。
[15]学者对此多有论述，亦可参见拙文《嘉禾吏民田家莂与孙吴身份等级体系》，第35—45页。
[16]关于“斛加五升”问题，蒋福亚先生有过专门研究，参见氏著《走马楼吴简经济文书研究》第1章第4节《<嘉禾吏民田家莂>中的“斛加五升”》，北京：国家图书馆出版社，2012年，第96—112页。
[17]孙继民：《走马楼<嘉禾吏民田家莂>所见孙吴的亩制》，《中国农史》2002年第2期，第108—109页。
[18]记有步单位的田家莂的数量统计，详见拙文《嘉禾吏民田家莂与孙吴身份等级体系》，第26页。
[19]长沙市文物考古研究所、中国文物研究所、北京大学历史学系走马楼简牍整理组编：《长沙走马楼三国吴简 嘉禾吏民田家莂》（上），第166页。
[20]由此推测，此简可能不是定收熟田的田亩数衍“十”字，更可能是田亩总数上脱漏了“十”字。
[21]“尾数整数化”指运用“四舍五入”对应交税额的较小单位（如布的“分”单位，米的“升”单位等）的数据处理。凌文超先生认为“尾数整数化”当时可能允许存在，参见氏著《<长沙走马楼三国吴简·嘉禾吏民田家莂>数值释文订补》，第287页。
[22]高敏先生也注意到此田家莂中田亩数上的谬误，参见氏著《<长沙走马楼三国吴简·嘉禾吏民田家莂>释文注释补正——读长沙走马楼简牍札记之八》，第72页。
[23]熟田若按亩计算，收布数应为252.5寸，收钱数应为1010钱，与简文所记不合。2.5寸布或许有被尾数整数化的可能，但10钱似乎没有这种可能。若按亩计算，则收布、钱数与简文所记完全吻合。由此推测，5·11中收布、钱数极可能是按熟田亩计算的。
[24]凌文超先生对该简的米、布数值也有核算，参见氏著《<长沙走马楼三国吴简·嘉禾吏民田家莂>数值释文订补》，第290页。
[25]胡平生：《<嘉禾四年吏民田家莂>统计错误例解析》。
[26]我们曾注意到田家莂5·661的收米数也体现了吏员十分精准的计算能力，参见拙文《<嘉禾吏民田家莂>所见孙吴基层吏员的舞弊手法》，第401—402页，注释10。
[27]本文中仓受米牍的释文及编号，俱转引自徐畅先生的《走马楼吴简竹木牍的刊布及相关研究述评》一文。
[28]此牍为缀合而成。分项合计总数与简文所记总数差距太大，这是否与缀合有关，有待图版公布后确认。
[29]其中包含了简文中定收田亩

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数残缺、但依据所记米、布、钱数计算可得出定收田步数为120步的简例。如5·1157，简文田亩数残缺，《<長沙走馬楼三国呉簡嘉禾吏民田家莂>釈文補正》（第104页）依据交米数补正为：“定收六亩百廿步。”
[30]杜石然先生认为《九章算术》“大约成书于公元后一世纪”，郭书春先生认为“成书于东汉初年”。分别参见：杜石然：《传统数学和中国社会》，《自然辩证法通讯》1984年第5期，第30—32页；郭书春：《中国古代数学与封建社会刍议》，《科学、技术与辩证法》1985年第2期，第1—7页。
[31]李继闵：《刘徽<九章算术注>原序》，《九章算术校证》，西安：陕西科学技术出版社，1993年，第125—126页。
[32]《汉书》卷三〇《艺文志》，点校本，北京：中华书局，1962年，第1766页。
[33]郭书春：《汇校九章算术》之《增补版前言》，沈阳：辽宁教育出版社，2004年，第3页。
[34]北京大学出土文献研究所（朱凤瀚、韩巍、陈侃理执笔）：《北京大学藏秦简牍概述》，《文物》2012年第6期，第65—73页。
[35]朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简》[贰]，上海：上海辞书出版社，2011年。另，肖灿先生对《数》进行过专门研究，参见氏著《岳麓书院藏秦简<数>研究》，北京：中国社会科学出版社，2015年。
[36]张家山二四七号汉墓竹简整理小组编：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》（释文修订本），北京：文物出版社，2006年，第129—157页。
[37]湖北省文物考古研究所、云梦县博物馆：《湖北云梦睡虎地M77发掘简报》，《江汉考古》2008年第4期，第31—37页。
[38]胡平生：《阜阳双古堆汉简数术书简论》，中国文物研究所编：《出土文献研究》（第4辑），北京：中华书局，1998年，第12—30页。
[39][清]孙诒让撰，王文锦、陈玉霞点校：《周礼正义》，北京：中华书局，1987年，第1010页。
[40]也有说法认为“六艺”即指六经，为《易》、《书》、《诗》、《礼》、《乐》、《春秋》这六种儒家经典。参见《汉书·艺文志》相关内容及颜师古的注。但现在一般认为，教育领域的“六艺”指礼、乐、射、御、书、数。
[41]张东荪：《思想与社会》，沈阳：辽宁教育出版社，1998年，第112页。
[42]《史记》卷一三〇《太史公自序》，点校本，北京：中华书局，1982年，第3288—3289页。
[43]《汉书》卷五六《董仲舒传》，第2512页。
[44]孙培青主编：《中国教育史》，上海：华东师范大学出版社，2008年，第110页。
[45]安作璋、熊铁基：《秦汉官制史稿》，济南：齐鲁书社，2007年，第627页。
[46]严耕望：《中国地方行政制度史 秦汉地方行政制度》，上海：上海古籍出版社，2007年，第252—256页。
[47]付海伦：《论中国古代私学中的数学教育》，《湖南师范大学社会科学学报》1994年第4期，第97—102页。
[48]《汉书》卷二一上《律历志上》载：“夫推历生律制器，规圜矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失豪氂，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍絫。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。”第956页。
[49]黄留珠：《秦汉仕进制度》，西安：西北大学出版社，1985年，第81—199页。
[50]《汉书》卷二四下《食货志下》：“（桑）弘羊，洛阳贾人之子，以心计，年十三侍中。”第1164页。《汉书》卷八八《儒林传》：“梁丘贺字长翁，琅琊诸人也。以能心计，为武骑。”第3600页。颜师古注桑弘羊“心计”条曰：“不用算筹。”即今日的心算。
[51]连云港市博物馆、东海县博物馆、中国社会科学院简帛研究中心、中国文物研究所编：《尹湾汉墓简牍》，北京：中华书局，1997年，第79页。
[52]唐朝科举制中曾设有明字科、明算科，虽并不受重视，但应较秦汉三国时期好许多。
[53]《后汉书》卷四八《杨终列传》，点校本，北京：中华书局，1965年，第1599—1600页。
[54]《汉书》卷六五《东方朔传》，第2853页。
[55]《后汉书》卷一〇《皇后纪》，第424页。
[56]《三国志》卷四二《蜀书·李譔传》，第1026—1027页。
[57]《汉书》卷二九《沟洫志》，第1689页。《汉书·艺文志》载有《许商算术》，此两许商或为同一人。
[58]《汉书》卷二四上《食货志上》：“时大司农中丞耿寿昌以善为算能商功利得幸于上。”第1141页。
[59]《后汉书》卷二六《冯勤列传》，第909页。
[60]《后汉书》卷二四《马援列传》，第862页。
[61]《后汉书》卷三五《郑玄列传》，第1207页。
[62]《三国志》卷二一《魏书·王粲传》，第599页。
[63]《后汉书》志二《律历中》注引杜预《长历》载：“余为《历论》之后，至咸宁中，善算李修、夏显，依论体为术，名《乾度历》，表上朝廷。”第3032页。同《志》注引《袁山松书》载：“（刘）洪善算。”第3043页。
[64]《三国志》卷四一《蜀书·杨洪传》注引《益部耆旧传·杂记》，第1015页。
[65]《后汉书》卷一〇上《皇后纪上》：“（王）美人丰姿色，聪敏有才明，能书会计，以良家子应法相选入掖庭。”第450页。“会计”者，注曰“总会其数而算”。
[66]《三国志》卷四七《吴书·吴主传》注引《吴书》：“（陈化）长子炽，字公熙，少有志操，能计算。”第1132页。
[67]《汉书》卷三〇《艺文志》，第1720—1721页。
[68]广濑熏雄先生认为此律不是《史律》，而应是《尉律》。杨振红先生也赞成此说法。二人观点可参见杨振红《出土简牍与秦汉社会》（续编），桂林：广西师范大学出版社，2015年，第111页。
[69]张家山二四七号汉墓竹简整理小组编：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》（释文修订本），第80—81页。
[70]甘肃省文物考古研究所、甘肃省博物馆、文化部古文献研究室、中国社会科学院历史研究所编：《居延新简——甲渠候官与第四燧》，北京：文物出版社，1990年，第151页。敦煌汉简中也有“昼夜勿置勉成史计会辩治超等”（1459B）的记录，参见吴礽骧、李永良、马建华释校：《敦煌汉简释文》，兰州：甘肃人民出版社，1991年，第152页。
[71]张存良、巨虹二位先生认为居延新简《苍颉篇》是“汉初改编本”。参见氏著《<苍颉篇>研究的新进展》，中国文化遗产研究院编：《出土文献研究》（第14辑），上海：中西书局，2015年，第232—258页。
[72]尚新丽：《西汉人口问题研究》，北京：线装书局，2008年，第39页。
[73]王海：《<续汉书·郡国志>户口数谬误辨析》，《湖南科技学院学报》2008年第7期，第60—61页。另外，陶元珍先生认为《续汉书·郡国志》注引的《帝王世纪》中户均人口过低，故而不可信；高敏先生则认为是有错字。二者观点可参见高敏《关于东汉魏晋南北朝时期人口数字的几个疑问及试解》，《魏晋南北朝社会经济史探讨》，北京：人民出版社，1987年，第351—353页。该文中高氏对魏晋南北朝时期的人口数字也有考察，亦可参阅。
[74]施丁主编：《汉书新注》，西安：三秦出版社，1994年，第1247—1308页。
[75]顾宏义：《<隋书经籍志>究竟收录多少书》，《江苏图书馆学报》1988年第4—5期，第75—77页；王炜民：《<隋书·经籍志>著录书目考》，《阴山学刊》（社科版）1991年第1期，第85—89页；黄槐能：《<隋书·经籍志>著录数量旧说指误》，《江苏图书馆学报》1997年第6期，第39—40页。
[76]松柏汉墓第47号木牍“南郡卒更簿”中记有南郡各县的卒、更数目以及总数，但学者发现其中存在数字错误现象，或是各县数字有误，或是合算数字有误，不一而足。分别参见：彭浩：《读松柏出土的四枚西汉木牍》，武汉大学简帛研究中心主办：《简帛》（第四辑），上海：上海古籍出版社，2009年，第333—344页；广濑熏雄：《论松柏1号墓出土的记更数的木牍》，复旦大学出土文献与古文字研究中心网站，2009年10月7日；陈伟：《简牍资料所见西汉前期的“卒更”》，《中国史研究》2010年第3期，第23—35页；杨振红：《松柏西汉墓簿籍牍考释》，《南都学坛》2010年第5期，第1—8页，该文后收入氏著《出土简牍与秦汉社会（续编）》，第223—242页；张金光：《说秦汉徭役制度中的“更”——汉牍<南郡卒编更簿>小记》，《鲁东大学学报》（哲学社科版）2011年第2期，第67—72页。
[77]谢桂华、李均明、朱国炤编：《居延汉简释文合校》，北京：文物出版社，1987年，第21页。
[78]王春淑：《居延简候燧会计文书考论》，《四川师范大学学报》（社科版）2003年第6期，第87—92页。
[79]此处的断读承蒙凌文超先生提示。
[80]睡虎地秦墓竹简整理小组编：《睡虎地秦墓竹简》，北京：文物出版社，1990年，第63页。
[81]张家山二四七号汉墓竹简整理小组编：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》（释文修订本），第80页。
[82]清华大学出土文献研究与保护中心编、李学勤主编：《清华大学藏战国竹简》[肆]，上海：中西书局，2013年，第135—148页。
[83]湖北省文物考古研究所、湘西土家族苗族自治州文物处、龙山县文物管理处：《湖南龙山里耶战国——秦代古城一号井发掘简报》，《文物》2003年第1期，第4—35页。
[84]北京大学出土文献研究所（朱凤瀚、韩巍、陈侃理执笔）：《北京大学藏秦简牍概述》。
[85]湖南省文物考古研究所、中国文物研究所：《湖南张家界古人堤遗址与出土简牍概述》，《中国历史文物》2003年第2期，第66—71页。
[86]原出自王国维先生的《流沙坠简》、劳干先生的《居延汉简考释》、《居延汉简甲编》等。本文转引自：王焕林：《里耶秦简九九表初探》，《吉首大学学报》（社科版）2006年第1期，第46—51页。
[87]出土情况参考了郭海燕先生的《汉代考古发现中的<苍颉篇>、<急就篇>表》。参见氏著《汉代平民教育研究》，山东大学博士学位论文，2011年，第92页。
[88]里耶秦简某些简或简背为习字所用，详见陈伟主编《里耶秦简牍校释》（第1卷），武汉：武汉大学出版社，2012年。
[89]沈刚先生对居延汉简中的“习字简”有过专门研究，参见氏著《居延汉简中的习字简述略》，《古籍整理研究学刊》2006年第1期，第29—31页。
[90]整理者认为长沙五一广场东汉简牍中的封检CWJ1③：206—1“为用于习字的废件”。参见长沙市文物考古研究所、清华大学出土文献与保护中心、中国文化遗产研究院、湖南大学岳麓书院编：《长沙五一广场东汉简牍选释》，上海：中西书局，2015年，第182页。
[91]王素先生曾说：“第四大类为习字。共一九件，约占全部简牍的十一分之一。”参见氏著《长沙东牌楼简牍概述》，长沙市文物考古研究所、中国文物研究所编：《长沙东牌楼东汉简牍》，北京：文物出版社，2006年，第74页。
[92]湖南省文物考古研究所、郴州市文物处：《湖南郴州苏仙桥J4三国吴简》，中国文物研究所编：《出土文献研究》（第7辑），上海：上海古籍出版社，2005年，第152—168页。
[93]王伦信：《“觚”与简牍时代的习字材料》，《基础教育》2011年第6期，第120—124页。
[94]《汉书》卷二四上《食货志》上，第1122页。
[95]《汉书》卷二四上《食货志》上，第1123页。
[96]王子今：《两汉童蒙教育》，《史学集刊》2007年第3期，第15—25页。
[97]凌文超：《走马楼吴简举私学簿整理与研究——兼论孙吴的占募》，《文史》2014年第2期，第37—71页。
[98]于振波：《走马楼吴简所见临湘县流动人口》，杨振红、邬文玲主编：《简帛研究2015》（秋冬卷），桂林：广西师范大学出版社，2015年，第163—181页。此时尚未出版的吴简[捌]也有私学资料，但不影响整体判断。
[99]关于孙吴前期基层吏治的状况，可参见拙文《孙吴政治格局的初步形成——从孙吴前期的文书错误现象说起》，徐希平主编：《长江流域区域文化的交融与发展（第二届巴蜀湖湘文化论坛论文集）》，成都：四川大学出版社，2014年，第445—457页。
原载于长沙简牍博物馆编：《长沙简帛研究国际学术研讨会论文集》，中西书局，2017年，第327—347页。引用请以原文为准。
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