嶽麓書院藏秦簡《數》衰分類未解讀算題二題的解讀

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原文标题：嶽麓書院藏秦簡《數》衰分類未解讀算題二題的解讀

（日本“中國古算書研究會”）
一、穀物配分算題
嶽麓書院秦簡《數》的圖版已於2011年12月出版[1]，然而《數》的220餘枚簡的排列順序至今尚不明確。《數》的整理者根據《九章算術》的結構，先將《數》的所有算題分爲租稅類、面積類(方田類) 、穀物換算類(粟米類) 、衰分類、少廣類、體積類(商功) 、贏不足類，然後按照《九章算術》各章的順序進行了排列[2]。我們中國古算書研究會[以下稱「研究會」] [3]亦暫且依此排序進行了釋讀。關於租稅類，本研究會已發表了《嶽麓書院藏秦簡〈數〉譯注稿(1)》[4],關於面積類(方田類)，已發表了《譯注稿(2)》，關於穀物換算類(粟米類),已發表了《譯注稿(3)》,關於衰分類, 已發表了《譯注稿(4)》[5]。關於少廣‧體積類(商功)將於明年2月份發表《譯注稿(5)》[6]。
《數》的衰分類主要是涉及比例分配的算題，其中有幾道算題如“數人各帶來不同的穀物，混合所有穀物之後，將各自帶來的穀物容積分別換算爲米體積，再按其米體積的比率將混合穀物分配給物主”(以下稱這類算題爲「穀物分配算題」)。這類「穀物分配算題」在《算數書》[7]中有「米粟并」題，在《數》中也有兩道，不過由於《數》的這類算題有缺文，所以其內容沒能得到充分的理解，以致一直是作爲未解讀簡對待的。另外，在《數》中除了此二題之外還有一道算題也屬於「穀物分配算題」，該題雖有設問及答案部分，但缺少術文部分，所以整理者根據《九章算術》的“返衰術”求得答案，並將其作爲已“解讀”題。
「研究會」在解釋此未解讀二題時，注重了穀物換算[8](《數》、《算數書》、《九章算術》都曾涉及到穀物換算)。所謂穀物換算，即將不同的

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穀物[9]按照同一價值進行換算時，體積之比所發生的變化。《數》的「穀物分配算題」如同《算數書》「米粟并」題一樣，先將幾種不同穀物換算爲相同穀物(米，即“糲米”)，求得各自帶來的穀物之間價值的比率，由此價值比率確定對穀物的分配。由於發現了這個術，我們終於成功地解讀了兩道未解讀的算題。此術的計算法不但與《九章算術》的「返衰術」明顯不同，而且比「返衰術」更爲簡便。
除了《算數書》的一題‧《九章算術》的一題之外，《數》中也發現了三道算題，因此可以說這類「穀物分配算題」在古代中國是很普遍的算術問題。
本論擬先介紹《算數書》「米粟并」題的術，然後闡明《數》未解讀二題的解讀，最後敘述《數》、《算數書》與《九章算術》術之間所存在的差異。
 
二、《算數書》「米粟并」題
《算數書》【22】“米粟并”題是將米、粟的兩種穀物混合之後，再將混合穀物分配給兩位物主的算題。
 
米粟并。有米一石、粟一石，并提之。問米、粟[主]當各取幾何。曰：米主取一石二斗十六分升＜斗＞八，粟主取七斗十六分升＜斗＞八。
术（術）曰：直（置）米十斗、六斗并以爲法，以二石扁（遍）乘所直（置），各自爲實。六斗者，粟之米數也。
[今譯]　米求並。有米1石、粟1石。二者混雜時，問米和粟的物主各自應當提取多少？答曰：米主應當領取1石斗，粟主應當領取斗。術曰：將米10斗與6斗相加作爲法，以2石分別乘10斗和6斗，將其得數各自作爲實。6斗爲由粟（10斗）換算爲（相同價值）米的容積。
 
「米粟并」題先說:米及粟的物主各自帶來1石(10斗)。“并提之”的意思大概是说将穀物混合之後各自提走。即將混合穀物20斗分配給米的物主及粟的物主。依據「米粟并」題的術文可知，其分配次序如下:
術文開頭云:“直（置）米十斗、六斗”，各自帶來的都是10斗，那“六斗”是什麼意思呢?而且此“六斗”無非將粟10斗換算爲與其價值相等的米的體積。因爲在術文的末尾明確說:“六斗者，粟之米數也”，可見這是對於粟10斗進行換算的結果，即得到米6斗。此6斗就是與粟10斗價值相等之米的數量[10]。然後，再用這些米的體積比率將20斗按比例進行分配(以下稱此術爲「米換算術」，稱以「米換算術」解答的算題爲「米粟并類算題」)。
米10斗 ：粟10斗＝米10斗 ：米6斗＝10 ：6
從而能得到10 ：6的比率。以此比率10與6之和的16爲法，即術文云“直（置）米十斗、六斗并以爲法”。又將米、粟混合的2石(20斗)乘以10或6，各自爲實，即按照10 ：6的比率將20斗混合穀物分配給米的物主及粟的物主。即術文所云“以二石扁（遍）乘所直（置）各自爲實”。結果，米及粟的物主各自所應得的份額如下:
米的物主應得份額＝(20×10)÷(10+6) ==12斗
粟的物主應得份額＝(20×6)÷(10+6) ==7斗
此答案與「米粟并」題的答案一致。
如此，可知「米粟并」題中是使用「米換算術」對米、粟混合穀物進行分配的。其實，在《數》的三個算題中也是用「米換算術」進行分配的。
 
三、《數》衰分類的未解讀算題(1)
《數》衰分類中有兩道未解讀的算題，其中一道(以下稱算題[一])爲:
 
算題[一]
（一五五）曰：以粟爲六斗┗，米爲十斗┗，麥爲六斗大半[斗]／
（一五六）有（又）置粟六斗，米十斗，麥六斗大半斗，亦令各以一爲六，已。乃并粟、米、麥，凡卅斗，以物乘之。如法得一斗。不盈
（一五七）斗者以法命之。
 
算題[一]的設問及答案部分的簡文已不存，僅殘留有術文部分。（一五五）簡上部“曰”字之前一字很可能是“術”字。在術文中雖然有“以粟爲六斗，米爲十斗，麥爲六斗大半[斗]”的文句，但是6斗、10斗與6之和的22斗與術文的“乃并粟、米、麥，凡卅斗”不合。這是至今此算題未能解讀的主要原因。
關於算題[一]，《嶽麓書院藏秦簡(貳)》說:“此算題現存答案和術文部分，應屬衰分類算題。”註釋者恐怕是將“以粟爲六斗，米爲十斗，麥爲六斗大半斗”當作此算題的答案部分了[11]。
「研究會」則認爲（一五六）簡的“置粟六斗，米十斗，麥六斗大半斗”一句與《算數書》「米粟并」題一樣，這句話表示的是將不同穀物換算成相同價值

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之米的結果。試證明如下：
在《數》粟米類的算題中有幾個公式是將粟換算爲米或將麥換算爲米的:
 
（八四）　以麥求米，三母倍實
（八五）　以粟求米，五母三實
 
(八四)簡意爲:假設將麥換算爲與其麥相同價值的米的話，其容積爲原來的，(八五)簡意爲:假設將粟換算爲與其粟相同價值的米的話，其容積爲原來的[12]。據此可知， 算題[一]中“以粟爲六斗”、“米爲十斗”、“麥爲六斗大半斗”分別為“以粟(十斗)爲六斗”和“米(十斗)爲十斗”及“麥(十斗)爲六斗大半斗”的省略，其意爲“粟10斗換算爲米6斗”、“米10斗爲米10斗”、“麥10斗換算爲米6斗”(應該注意的是每種穀物都可以換算爲“米”)。在此有兩個證據：第一，《算數書》「米粟并」題也與此算題一樣，將粟10斗換算爲米6斗；第二，本題各自帶來的粟10斗、米10斗、麥10斗的總和是30斗，與本題術文中“乃并粟、米、麥，凡卅斗”的一句吻合。
綜上所述，算題[一]的計算可概括為:
粟10斗＝10×斗＝米6斗
麥10斗＝10×斗＝斗＝米6斗
總之， 算題[一]的意思是:三人各自帶來粟10斗、米10斗、麥10斗，將三種穀物混合之後，按照換算爲米的6斗 ：10斗 ：6斗之比率再分配給三人。這裡用的術即上述的「米換算術」。
《數》有另外一道算題(一三七＋一三八)也屬於「米粟并類算題」，其設問部分與從算題[一]術文推測出的設問部分非常類似。但是，與算題[一] 所不同的是，在此算題中殘存有設問及答案部分，所以可以視爲已“解讀”的算題。(本文稱此算題爲算題[二])。
 
算題[二](①設問部分， ②答案部分)
① 一人負米十斗，一人負粟十斗，[一人]負食十斗。并裹而分之，米、粟、食各取幾可（何）？
② 曰：米取十四斗七分斗二┗，粟[取]八斗七分[斗] ／四，食取七斗七分[斗]一。
食二斗當米一斗。
 
算題[二]意爲:三人各自帶來米10斗、粟10斗、食10斗，三者混合爲30斗，按照米10斗、粟10斗、食10斗的價值進行比例分配。“食”爲何物不明，大體是穀物的一種吧。因算題[二]沒有術文，此題的解法不明，但從“食二斗當米一斗”一句可知與算題[一]及《算數書》「米粟并」題一樣，算題[二]也是將粟10斗及食10斗換算爲相同價值之米的。將食換算爲相同價值的米時，其容積爲，因而食10斗爲米5斗。與算題[一]及《算數書》「米粟并」題一樣，粟10斗爲米6斗。所以用的也是「米換算術」。將米、粟、食換算爲米，能求得比率如下:
米10斗 ：粟10斗 ：食10斗＝米10斗 ：米6斗 ：米5斗＝10 ：6 ：5
按此比率將米、粟、食各10斗混合的30斗分配給三人:
米的物主應得份額＝(30×10)÷(10+6+5)＝＝=14斗
粟的物主應得份額＝(30×6)÷(10+6+5)＝==8斗
食的物主應得份額＝(30×5)÷(10+6+5)＝==7斗
這些答案都與算題[二]的答案一致。雖然算題[二]的術文已不存，但如要予以復原的話，根據算題[一]的術文，其簡文很可能是:
 
術曰：以米爲十斗，粟爲六斗，食爲五斗。又置米十斗，粟六斗，食五斗，已。乃并米、粟、食，凡卅斗。以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
 
《嶽麓書院藏秦簡(貳)》算題[二]的註釋者雖然也給出了與此幾乎同樣的計算公式，可是他們說:此題應屬於衰分大類中的反衰類問題。它與《九章算術》「衰分」章的「今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問各幾何?」是完全同型的問題，方法也應是同種方法。他們斷定算題[二]是用《九章算術》的返衰術來進行計算的。「研究會」雖然也承認算題[二]的設問與《九章算術》的算題完全相同，但認爲將算題[二]解釋爲返衰術的計算是完全沒有根據的。如果認爲這裡使用了「米換算術」進行計算並解答問題的話，則是非常自然的。
 
在此，讓我們回到算題[一]。由於算題[一]缺少術文前面的簡文(即設問及答案部分)，所以其内容也難以理解。但是，由於算題[一]與算題[二]都屬於「米粟并類算題」，所以依照算題[二]可以將算題[一]的全文復原如下:
 
算題[一]的復原案(①設問　②答案　③術文)
① 一人負粟十斗，一人負米十斗，一人負麥十斗。并裹而分之，粟、米、麥各取幾何？
② 曰：粟取七斗又十七分斗十六，米取十三斗又十七分斗四，麥取八斗又十七分斗十四。
③ 術曰：以粟爲六斗，米爲十斗，麥爲六斗大半斗。有（又）置粟六斗，米十斗，麥六斗大半斗，亦令各以一爲六，已。乃并粟、米、麥，凡卅斗。以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
算題[一]的內容是:三人各自帶來米10斗、粟10斗、麥10斗，將每種穀物各換算爲相同價值的米即“以粟爲六斗，米爲十斗，麥爲六斗大半斗”。總之，算題[一]與《算數書》「米粟并」題同樣，也使用了「米換算術」。下面一句“亦令各以一爲六”，就是說:將粟、米、麥的比率各乘以6，這是爲了將麥「六斗大半斗」的分數化爲整數。不乘以3而乘以6，在《算數書》少廣題[13]有“下有三分，以一爲六”一句，也許是類似的情況吧。《數》少廣題中雖未發現“下有三分，以一爲六”的文字，卻多有“下有四分”一類的表達。
粟10斗 ：米10斗 ：麦10斗＝米6斗 ：米10斗 ：米6斗
 = 6×6 ：10×6 ：6×6 = 36 ：60 ：40 = 9 ：15 ：10
下面的“已”字是說:求得此比率之後，以這三個比率之和爲法。將粟、米、麥各10斗混合為30斗，即“乃并粟、米、麥，凡卅斗”。於是，按照已得的比率進行比例分配。所謂“以物乘之”是說：將混合穀物30斗乘以每個比率。“物”可能是指粟、米、麥的每個「比率之數」[14]。“如法得一斗”是將30斗乘以每個「比率之數」，再以所得數除以法(比率的合計)。
“以物乘之。如法得一斗”一句雖然與「米粟并」題的表現方式頗有不同，但從以上分析可知，二者的計算次序完全一致。從而，粟、米、麥的各物主應得份額的計算如下:
粟的物主應得份額=(30×9)÷(9+15+10)= ==7斗
米的物主應得份額=(30×15)÷(9+15+10)=

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==13斗
麥的物主應得份額=(30×10)÷(9+15+10)= ==8斗
這就是算題[一]的答案，正與上述復原文②相當。
構成一個算題，須具備①設問②答案③術文等三個要素。算題[一]沒有①及②，算題[二]沒有③，雖然都不完整，但是可以互相補充，從而恢復原文。
  兩者相互對照可知，算題[一]是粟、米、麥的分配問題，算題[二]是米、粟、食的分配問題，只不過在後者中“食”代替了前者的“麥”。可見，兩者都屬於「米粟并類算題」。進而可以斷定在算題[二]中用的術也應是「米換算術」。因此，可知《嶽麓書院藏秦簡(貳)》註釋者認爲此算題使用了《九章算術》返衰術的觀點是不可取的。
 
四、《數》衰分類的未解讀算題(2)
在《數》衰分類之中，還有下面一道未解讀算題(以下稱算題[三]):
 
算題[三]
（一五四）／米、粟且各得幾可（何）？曰：米取三斗有（又）廿七分升＜斗＞廿四┗，粟取三斗有（又）廿七分升＜斗＞三。
 
算題[三]僅殘存有設問部分的末尾及答案部分，而且註釋者對此未做任何解釋[15]。
我們先從設問部分加以研討。首先，從算題[三]的殘存部分及復原後的算題[一][二]進行類推，假定算題[三]的內容爲:米及粟的物主先帶來粟、米多少斗，然後將混合穀物用「米換算術」進行分配。此算題的答案部分有“米取三斗有（又）廿七分升＜斗＞廿四，粟取三斗有（又）廿七分升＜斗＞三”的内容，所以兩者之和爲3＋3＝7，由此計算可以看出兩個事實：(1)將帶來的米及粟合爲7斗。(2)對兩位物主進行分配的比率爲3 ：3＝ ：＝105 ：84＝5 ：4。即按此比率將7斗分配給物主。
在這裡，假設物主各帶來的是米x斗與粟(7－x)斗。將粟(7－x)換算爲米時，由於其容積爲，所以粟(7－x)斗相當於米(7－)×斗。因爲分配比率是5 ：4，結果，可得以下的比例式:
：(7－)×＝5 ：4
從這個比例式得到計算式×4＝(7－)××5，對這個計算式求解，即能求得米容積＝3斗。粟容積爲7－3＝4斗，因而可知，米的物主帶來的是3斗，粟的物主帶來的是4斗。從以上的計算過程中，我們可以斷定:算題[三]的設問內容是:將帶來的米3斗及粟4斗混合之後，按照換算爲米的比率分配給兩個物主。因而算題[三]也屬於「米粟并類算題」。
下面，讓我們討論一下

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算題[三]的術。與算題[一][二]一樣， 將算題[三]的粟4斗換算為米的話，即
粟4斗＝米4×斗＝米斗＝米2斗
得米2斗。因而米3斗與粟4斗的價值比率爲3 ：2。比率值中有分數，所以將兩者同乘以5，將比率化爲整數。
米3斗 ：粟4斗＝米3斗×5 ：米2斗×5=15 ：12
15 ：12的比率雖然可以化簡爲5 ：4，但依照《算數書》【23】「粟米并」題的做法，這裡我們依然使用15 ：12的比率進行計算。
 
粟米并。米一、粟二，凡十斗。精之，爲七斗三分升＜斗＞一。术(術)曰：皆五，米粟并爲法。五米，三粟。以十斗乘之爲實。
 
[今譯]
粟米并。米與粟爲1 ：2，合計10斗。將其精白（舂得米）合計斗。術曰：米1、粟2各自乘5倍之後的得數（15），相加作為法。米1乘以5倍，粟2乘3倍(相加為11)，以10斗乘11的得數作為實。
 
「粟米并」題假設將原來的粟、米的體積各擴大5倍的話，換算爲米時，米乘以5倍，粟乘以3倍。即當時求解米粟的換算問題時，一般使用“五米、三粟(米乘以5，粟乘以3)”的計算法。算題[三]也一樣，將米3斗乘以5，得15，將粟4斗乘以3，得12，從而通過上述的計算，即可得到米3斗及粟4斗的米價值比率15 ：12。當時對15 ：12的比率並不化簡為5 ：4，仍使用15 ：12。
使用此比率對混合米、粟的7斗進行分配，米、粟各物主應得的份額爲:
米的物主應得的份額=(7×15)÷(15+12) ==3斗
粟的物主應得的份額=(7×12)÷(15+12) ==3斗
這樣的答案與算題[三]的答案以及保留分數不做約分的方法是一致的。
基於以上的論證，算題[三]可復原如下:
 
算題[三]的復原案(①設問　②答案　③術文)
① 一人負米三斗，一人負粟四斗。并裹而分之，米、粟且各得幾可（何）。
② 曰：米取三斗有（又）廿七分斗廿四，粟取三斗有（又）廿七分斗三。
③ 術曰：（以米三斗爲三斗），粟四斗爲二斗五分斗二。又置米三斗，粟二斗五分斗二，亦令各以一爲五，已。乃并米、粟，凡七斗，以物乘之。如法得一斗。不盈斗者以法命之。
 
算題[三]有一個特點:與算題[一][二]和「米粟并」題以及《九章算術》衰分章的算題不同，兩位物主帶來的穀物的體積各自不同。因而，嚴格地說算題[三]不屬於「米粟并類算題」，不過算題[三]的內容也是「穀物分配算題」，而且解答問題時也使用了「米換算術」。所以歸根到底，算題[三]仍可以視為屬於「米粟并類算題」。算題[三]雖然也可能是使用《九章算術》返衰術進行解答的，但正如下一節所說明的那樣，其計算是相當複雜的。
 
五、《九章算術》的返衰術
如上所述，《九章算術》衰分章有以下「穀物分配算題」一題:
 
今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問各幾何。答曰：甲二升一十分升之七，乙四升一十分升之五，丙一升一十分升之八。
術曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五爲衰，而返衰之、副并爲法。以九升乘未并者各自爲實。實如法得一升。
 
[今譯]
現在甲持粟3升，乙持糲米3升，丙持糲飯3升。欲將所持物混合之後對甲、乙、丙另行分配。問：各自分得多少？答曰：甲2升，乙4升，丙1升。
術曰：以粟率50、糲米率30、糲飯率75爲衰，而對此做返衰，另以各率之和爲法。以9升乘以未混合的返衰的各數，各自爲實。以法除實可得以升爲單位的答案。
 
此算題意爲:三人帶來同體積的不同穀物，再按照各自所持穀物價值進行分配。此算題的內容雖屬於「米粟并類算題」，但其使用的術卻是完全不同的。
《九章算術》里使用的術爲「返衰術」[16]計算法。
首先設定粟50、糲30、糲飯75的各自比率[17]。這些比率在相同價值之下，各穀物之間的體積比率叫做“衰”。其次，給出它們的逆數(， ， )，這叫做“返衰”，將這些返衰的數值先化爲整數值，然後再用這些整數的比率做比例計算，即「返衰術」。此過程可圖示如下:
 
粟3升
糲米3升
糲飯3升
①   衰（穀物間的率）
50
30
75
②   返衰（置①的逆数）



③ 將②的分母用50×30×75通分之後，去掉分子
30×75
50×75
50×30
③   將③的各比率化簡
3
5
2
⑤ 將粟、糲米、糲飯混合之9升按④的比率進行比例配分
(9×3)÷(3+5+2)
＝＝2升
(9×5)÷(3+5+2)
＝＝4升
(9×2)÷(3+5+2)
＝＝1升
 
除了是否進行分數的約分以外，此術與「米換算術」在①－③次序上是不同的。
此返衰術的缺點在於，得到3 ：5 ：2的比率之前的計算過程(①－④)過於繁雜。另外，如果所攜帶的穀物在量上有所不同的話，計算就更加複雜。作爲例證，我們試以返衰術對算題[三]做出解答的話，其次序如下表所示:
 
 
米3斗
粟4斗
①
 衰（穀物間的率）
30
50
② 返衰（置①的逆数）


③ 將②的分母用50×30×75通分之後，去掉分子
50
30
④   將③的各比率做簡約
5
3
⑤ 對④的各率乘以米、粟的斗數（得「包括斗数在內」的比率）
5×3斗=15
3×4斗=12
⑥ 將米、粟混合的7斗用⑤的比率做比例分配
(7×15)÷(15+12)
==3斗
(7×12)÷(15+12)
==3斗
 
由上表可見，計算過程至④纔能得到米3斗及粟4斗的換算比率的5 ：3。
算題[三]中，由於欲將米3斗與粟4斗一類不同量穀物混合之後進行分配，而無法對混合穀物的7斗按照5 ：3的比率進行分配。所以在分配之前，須先求得「含斗數」的比率，然後可以按照此比率進行比例分配。就是説在上表的⑤中，先得將④的米率5乘以米斗數3得15，然後將④的粟率3乘以粟斗數4得12，於是得到15 ：12的比率，進而按此比率對7斗進行分配 (即⑥所表示的計算)。關於⑥的計算，與「米換算術」是完全一樣的。
粟及米的換算是《數》粟米類題的基本問題，所以同等量的米及粟的價值比率為5 ：3這一點，如上述《算數書》「粟米并」題亦存在此比率那樣，看來這是個被普遍認同的事實。如果是這樣的話，《嶽麓書院藏秦簡(貳)》注釋中所說的這裡使用了返衰術求5 ：3之比率的觀點就很難想象了。
因此，返衰術與「米換算術」的差異在於求比率的方法是不同的。比較兩術可知，在求比率的過程上，「米換算術」比返衰術簡單得多。
值得指出的是，如果所要分配的穀物種類更多，而且各自穀物的份量不一樣的話，用返衰術求比率的計算將會更加複雜。
 
最後，讓我們嘗試一下， 用「米換算術」對《九章算術》的算題做出解答。
先將三人帶來的「粟三升、糲米三升、糲飯三升」各自換算爲與之價值相等的米(糲米不需換算)。
粟3升＝3×升＝升＝糲米1升，糲飯3升＝3×升＝升＝糲米1升
因而它們的比率爲1：3：1，由於分母中有5，所以將算式全體乘以5，可得比率如下:
1×5 ：3×5 ：1×5＝9 ：15 ：6 (＝3 ：5 ：2)
雖然9 ：15 ：6的比率可以約分爲3 ：5 ：2，但在計算上仍舊用9 ：15 ：6比率。按照這一比率對9斗進行分配，就得到各物主應得的份額:
粟的物主應得份額=(9×9)÷(9+15+6) ==2升
糲米的物主應得份額=(9×15)÷(9+15+6) ==4升
糲飯的物主應得份額=(9×6)÷(9+15+6) ==1升。
進而對這些答案的分數部分以3做約分，就得到《九章算術》的答案。
如此可知，先將各種穀物換算爲米的「米換算術」比返衰術簡單得多。不過，在後代成書的《九章算術》中，「米換算術」被返衰術取代了。其中的原因究竟如何，尚有待今後的繼續研討。
 
附記：這編論文的日文版發表在大阪產業大學論集人文・社会科学編18(2013年6月)。
 
（編者按：本文收稿時間爲2013年11月19日15：25。）
[1]《數》 是以朱漢民、陳松長主編『嶽麓書院蔵秦簡（貳）』（上海辞書出版社、2011年12月）形式出版的。
[2]參見『嶽麓書院蔵秦簡（貳）』序言。
[3]中国古算書研究会的構成員: 張替俊夫（代表）、大川俊隆、小寺裕、角谷常子、武田時昌、田村三郎、田村誠、馬場理惠子、馬彪、吉村昌之。
[4]大川俊隆「嶽麓書院蔵秦簡『数』譯注稿(1)」,(大阪産業大学論集人文・社会科学編16(2012年10月))。
[5]田村誠「嶽麓書院蔵秦簡『数』譯注稿(2)」馬場理惠子、吉村昌之「嶽麓書院蔵秦簡『数』訳注稿(3)」,角谷常子「嶽麓書院蔵秦簡『数』訳注稿(4)」,(大阪産業大学論集人文・社会科学編17-19(2013年2月-10月))。
[6]小寺裕‧張替俊夫「嶽麓書院蔵秦簡『数』訳注稿(5)」預定明年2月發表。
[7]關於《算數書》，參見張家山漢簡《算數書》研究會編《漢簡『算數書』－中國最古の數學書》。本文引用《算數書》算題時使用了本書的算題號碼。
[8]關於穀物換算計算，參見注6所引用論文頁31揭載的「穀物換算表」。
[9]米及粟本是同一穀物，只不過是碾米程度不同，但本論裡把它們當作異種穀物。
[10]《算數書》【18】粟求米題講述了將粟容積換算爲與其價值相等之米容積的方法。「粟求米，三之，五而一」，即將粟容積擴大3倍，然後除以5，就得到米容積。
[11]關於算題[一]， 『嶽麓書院蔵秦簡（貳）』除此注以外，沒有其他的說明。
[12]《九章算術》粟米章開頭：“粟率五十，糲米三十，‧‧‧，菽、荅、麻、麥各四十五”，這些數字表示了相同價值的粟、糲米、菽等的容積比。
[13]關於《算數書》「少廣」題，參見注7所引書的p1。
[14]《國語·周語上》云“王曰： 虢其幾何？對曰：昔堯臨民以五。今其胄見。神之見也，不過其物」。韋注云“物，数也。”
[15]關於算題[三]， 『嶽麓書院蔵秦簡（貳）』未做任何注釋。
[16]關於「返衰術」,參照角谷常子、張替俊夫「『九章算術』譯注稿(7)」(大阪産業大学論集人文・社会科学編8(2010年2月))注(25)。
[17]參看注12。 (责任编辑：admin)

原文出处：http://his.newdu.com/a/201711/05/513419.html

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