蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

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原文标题：蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討
蕭燦
湖南大學嶽麓書院
嶽麓書院藏秦簡《數》中有一例“贏不足”算題非常重要，它是一例含三個未知數的不定問題，不見於傳世文獻和已知的出土文獻。對於此題學者們有各種解讀，但簡所記術文的含義仍無法確知。

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

斗九錢，秶十

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

　　C020107

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

七錢，叔（菽）十斗

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

　　　2197

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

斗，用八錢，問各幾可（何）？曰：稻六斗　　0799

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

〔術〕曰：直（置）稻九，不足一其下，粢七，直（置）贏

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　　2198

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

一其下，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足

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　　 2179

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

乘粢七，同之卅，為稻

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（實）；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

（實），以稻不足一乘叔（菽）五為

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

（實），同贏　　0496

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

不足　　　 C100108

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

五以為法，如法各得一斗。　 0497
簡文的復原方案之一可以是：“【稻十】斗九錢，秶十【斗】七錢，叔（菽）十斗【五錢，今欲買三物共十】斗，用八錢，問各幾可（何）？曰：稻六斗，【秶三斗，菽一斗。術】曰：置稻九，不足一其下，粢七，直（置）贏一其下，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足【一乘稻九，以叔（菽）三】乘粢七，同之卅，為稻實；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢（實）；以稻不足一乘叔（菽）五為

蕭燦：嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

（實），同贏、不足五以為法，如法各得一斗。”[1]
徐義保先生的解析[2]
此題的代數方法的解答如下：
設稻斗，秶為斗，菽斗，列方程組：


這一不定方程組有無數解，如：
　　
算題給出的答案只是其中之一。
依照算題術文，布列如下：
稻　9　　　　1（不足）
秶　7　　　　1（贏）
菽　5　　　　3（贏）



上述運算步驟，數據于算題術文吻合，但不能解釋其數學含義。
鄒大海先生的解析[3]
此題的代數方法解答如下：
設稻斗，秶為斗，菽斗，列方程組：
x+y+z=10 （1）
9x/10+7y/10+5z/10=8 （2）
綜合兩式得到2x+y=15，如果求非負整數解，
當y=1時，x=7，z=2，這組解可計為（7，1，2），　第一組
當y=3時，這組解為（6

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，3，1），　 第二組
當y=5時，這組解為（5，5，0）， 第三組
當y=7或9或更大的奇數時，z為負數，故不可計入解。
本題的答案中說“稻六斗”，可見只取了第二組解。
依照算題術文，可作如下理解：

直（置）

稻　 九

秶　七

叔 五


不足 一

贏　一

贏 三

秶1×稻9+叔（菽）

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3×秶7=30　　為稻實
叔（菽）3×叔（菽）5 =15　　　　　　　為秶實
稻不足1×叔（菽）5=5　　　　　 為叔實
贏1+贏3+不足1=5　　　　 為法
以法5分別除稻實30、秶實15、叔實5，分別得到稻、秶、叔的數量為6、3、1斗。
上述各實的計算步驟，沒有規則可言，整個計算也看不出有什麼道理。古人在設計這個問題的時候，可能就是先有答案和題設，然後擬合術文的。
朱一文先生的意見[4]
朱先生同意徐、鄒二位先生對算法的分析，但認為簡所記術文並非拼湊擬合，而是體現的算籌運算的規律。簡文的“術”或者在某些限制條件下是成立的。

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[1] 此復原方案參考了鄒大海先生的意見。鄒大海先生現為中科院自然科學史研究所研究員。
（實），從“宀

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”從“貫”。在《數》中“實”字多數情況下寫為“”，也有幾處寫為“”，這是省去了“宀”，將“毌”寫作“尹”或者“君”。
[2] 引自徐義保先生的電子郵件，2010-10-24。徐義保先生現為美國紐約城市大學副教授。
[3] 引自鄒大海先生的電子郵件，2010-11-2。
[4] 引自在中科院自然科學史研究所的談話，2011-4-7。朱一文先生現為該研究所博士。
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